Khai triển hàm số:
f(x) = \sqrt{x+1}
theo công thức Maclaurin đến lũy thừa bậc 5 của x với phần dư dạng Peano.
Đáp án đúng:
Để khai triển hàm số $f(x) = \sqrt{x+1}$ theo công thức Maclaurin đến lũy thừa bậc 5 của x với phần dư dạng Peano, ta cần tính các đạo hàm của f(x) tại x = 0.
$f(x) = (x+1)^{1/2}$
$f'(x) = \frac{1}{2}(x+1)^{-1/2}$
$f''(x) = -\frac{1}{4}(x+1)^{-3/2}$
$f'''(x) = \frac{3}{8}(x+1)^{-5/2}$
$f^{(4)}(x) = -\frac{15}{16}(x+1)^{-7/2}$
$f^{(5)}(x) = \frac{105}{32}(x+1)^{-9/2}$
Tính các giá trị tại x = 0:
$f(0) = 1$
$f'(0) = \frac{1}{2}$ $f''(0) = -\frac{1}{4}$
$f'''(0) = \frac{3}{8}$ $f^{(4)}(0) = -\frac{15}{16}$
$f^{(5)}(0) = \frac{105}{32}$
Sử dụng công thức Maclaurin:
$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \frac{f^{(5)}(0)}{5!}x^5 + o(x^5)$
$f(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \frac{7}{256}x^5 + o(x^5)$
This is a 50-minute Calculus 1 test paper from the National Economics University, School of Technology, Faculty of Basic Sciences. It consists of 5 questions covering topics such as function continuity, limits, optimization of business revenue and cost functions, implicit differentiation, and Maclaurin series expansion.