Đáp án đúng:
Để tìm đạo hàm của hàm ẩn y = y(x) được xác định bởi phương trình x^3 - 3(x^2 + 1)y + xy^3 = 1, ta thực hiện các bước sau:
1. Lấy đạo hàm hai vế theo x: Áp dụng quy tắc đạo hàm cho từng thành phần của phương trình, chú ý rằng y là hàm của x (y = y(x)).
* Đạo hàm của x^3 là 3x^2.
* Đạo hàm của -3(x^2 + 1)y là -3[(2x)y + (x^2 + 1)(dy/dx)].
* Đạo hàm của xy^3 là y^3 + x * 3y^2(dy/dx).
* Đạo hàm của 1 là 0.
Vậy, phương trình đạo hàm là: 3x^2 - 3[(2x)y + (x^2 + 1)(dy/dx)] + y^3 + 3xy^2(dy/dx) = 0.
2. Sắp xếp lại phương trình để giải dy/dx
** Mở rộng và nhóm các số hạng chứa dy/dx về một vế, các số hạng còn lại về vế kia. 3x^2 - 6xy - 3(x^2 + 1)(dy/dx) + y^3 + 3xy^2(dy/dx) = 0 [3xy^2 - 3(x^2 + 1)](dy/dx) = 6xy - 3x^2 - y^3 dy/dx = (6xy - 3x^2 - y^3) / [3xy^2 - 3(x^2 + 1)] 3.
Rút gọn biểu thức (nếu có thể): Chia cả tử và mẫu cho 3: dy/dx = (2xy - x^2 - y^3/3) / (xy^2 - x^2 - 1)
Vậy, đạo hàm của y theo x là dy/dx = (2xy - x^2 - y^3/3) / (xy^2 - x^2 - 1).
This is a 50-minute Calculus 1 test paper from the National Economics University, School of Technology, Faculty of Basic Sciences. It consists of 5 questions covering topics such as function continuity, limits, optimization of business revenue and cost functions, implicit differentiation, and Maclaurin series expansion.