Tìm đạo hàm của hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phương trình:

x^3 - 3(x^2 + 1)y + x y^3 = 1

Để khai triển hàm số $f(x) = \sqrt{x+1}$ theo công thức Maclaurin đến lũy thừa bậc 5 của x với phần dư dạng Peano, ta cần tính các đạo hàm của f(x) tại x = 0.

$f(x) = (x+1)^{1/2}$

$f'(x) = \frac{1}{2}(x+1)^{-1/2}$

$f''(x) = -\frac{1}{4}(x+1)^{-3/2}$

$f'''(x) = \frac{3}{8}(x+1)^{-5/2}$

$f^{(4)}(x) = -\frac{15}{16}(x+1)^{-7/2}$

$f^{(5)}(x) = \frac{105}{32}(x+1)^{-9/2}$

Tính các giá trị tại x = 0:

$f(0) = 1$

$f'(0) = \frac{1}{2}$ $f''(0) = -\frac{1}{4}$

$f'''(0) = \frac{3}{8}$ $f^{(4)}(0) = -\frac{15}{16}$

$f^{(5)}(0) = \frac{105}{32}$

Sử dụng công thức Maclaurin:

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \frac{f^{(5)}(0)}{5!}x^5 + o(x^5)$

$f(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \frac{7}{256}x^5 + o(x^5)$

Để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần có: lim (x→0) f(x) = f(0)

Tính lim (x→0) f(x): lim (x→0) f(x) = lim (x→0) [x*sin(1/x) / x + 2] = lim (x→0) [sin(1/x) + 2] Vì -1 <= sin(1/x) <= 1 nên khi x dần tới 0, sin(1/x) sẽ dao động giữa -1 và 1.

Do đó, giới hạn lim (x→0) sin(1/x) không tồn tại.

Tuy nhiên, câu hỏi có thể có một lỗi nhỏ trong biểu thức.

Nếu biểu thức đúng là `(x*sin(1/x))/x + 2` thì ta sẽ giải như sau: lim (x→0) [sin(1/x) + 2]

Nếu đề bài là `f(x) = sin(x)/x + 2` khi x != 0, thì lim (x→0) f(x) = lim (x→0) (sin(x) / x) + 2 = 1 + 2 = 3

Khi đó, để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần a = f(0) = 3.

Tuy nhiên, với biểu thức đã cho `f(x) = (x*sin(1/x)) / x + 2`, giới hạn không tồn tại khi x->0, trừ khi có sự triệt tiêu nào đó.

Nếu đề bài có thể sửa lại thành: `f(x) = x*sin(1/x) + 2` khi x!=0 và `f(x) = a` khi x = 0 Khi đó, lim (x→0) x*sin(1/x) + 2 = 0 + 2 = 2

Vậy a = 2.

Để tính giới hạn \(\lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x e^{-2x}}\) ta làm như sau:

Ta có thể viết lại biểu thức như sau: \(\lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x e^{-2x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x} e^{2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x} \cdot \lim_{x \to +\infty} e^{2x}\) Khi \(x \to +\infty\), \(-2x^2 + 3\) có bậc lớn nhất là \(x^2\) và \(x\) có bậc là 1.

Vì vậy, ta xét: \(\lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x} = \lim_{x \to +\infty} (-2x + \frac{3}{x})\) Khi \(x \to +\infty\), \(-2x \to -\infty\) và \(\frac{3}{x} \to 0\), do đó: \(\lim_{x \to +\infty} (-2x + \frac{3}{x}) = -\infty\)

Mặt khác, \(\lim_{x \to +\infty} e^{2x} = +\infty\)

Vậy, ta có một dạng \((-\infty) \cdot (+\infty)\), kết quả sẽ là \(-\infty\).

Do đó, \(\lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x e^{-2x}} = -\infty\)

Để xác định mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận, ta cần tìm điểm mà tại đó lợi nhuận (π) đạt giá trị lớn nhất.

Lợi nhuận được tính bằng doanh thu trừ đi chi phí: π = TR - TC.

Sau đó, ta tìm đạo hàm bậc nhất của lợi nhuận theo Q (π') và giải phương trình π' = 0 để tìm ra các điểm cực trị.

Cuối cùng, ta xét đạo hàm bậc hai (π'') để xác định điểm nào là điểm cực đại (tối đa hóa lợi nhuận).

1. Tính lợi nhuận (π): π = TR - TC = (1600Q - 2Q^2) - (Q^3 - 8Q^2 + 160Q + 680) = -Q^3 + 6Q^2 + 1440Q - 680 2.

Tính đạo hàm bậc nhất của lợi nhuận (π'): π' = dπ/dQ = -3Q^2 + 12Q + 1440 3.

Giải phương trình π' = 0: -3Q^2 + 12Q + 1440 = 0

Chia cả hai vế cho -3: Q^2 - 4Q - 480 = 0

Giải phương trình bậc hai này, ta được hai nghiệm: Q1 = 24 và Q2 = -20.

Vì sản lượng không thể âm, ta loại Q2 = -20.

Vậy Q = 24. 4.

Tính đạo hàm bậc hai của lợi nhuận (π''): π'' = d^2π/dQ^2 = -6Q + 12 5.

Kiểm tra điều kiện cực đại tại Q = 24: π''(24) = -6(24) + 12 = -144 + 12 = -132

Vì π''(24) < 0, Q = 24 là điểm cực đại, tức là mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận.