Cho biết hàm doanh thu và hàm chi phí của một nhà sản xuất như sau:

TR = 1600Q - 2Q^2, \quad TC = Q^3 - 8Q^2 + 160Q + 680

Xác định mức sản lượng tối đa hoá lợi nhuận của nhà sản xuất.

Để tìm đạo hàm của hàm ẩn y = y(x) được xác định bởi phương trình x^3 - 3(x^2 + 1)y + xy^3 = 1, ta thực hiện các bước sau:

1. Lấy đạo hàm hai vế theo x: Áp dụng quy tắc đạo hàm cho từng thành phần của phương trình, chú ý rằng y là hàm của x (y = y(x)).

* Đạo hàm của x^3 là 3x^2.

* Đạo hàm của -3(x^2 + 1)y là -3[(2x)y + (x^2 + 1)(dy/dx)].

* Đạo hàm của xy^3 là y^3 + x * 3y^2(dy/dx).

* Đạo hàm của 1 là 0.

Vậy, phương trình đạo hàm là: 3x^2 - 3[(2x)y + (x^2 + 1)(dy/dx)] + y^3 + 3xy^2(dy/dx) = 0.

2. Sắp xếp lại phương trình để giải dy/dx

** Mở rộng và nhóm các số hạng chứa dy/dx về một vế, các số hạng còn lại về vế kia. 3x^2 - 6xy - 3(x^2 + 1)(dy/dx) + y^3 + 3xy^2(dy/dx) = 0 [3xy^2 - 3(x^2 + 1)](dy/dx) = 6xy - 3x^2 - y^3 dy/dx = (6xy - 3x^2 - y^3) / [3xy^2 - 3(x^2 + 1)] 3.

Rút gọn biểu thức (nếu có thể): Chia cả tử và mẫu cho 3: dy/dx = (2xy - x^2 - y^3/3) / (xy^2 - x^2 - 1)

Vậy, đạo hàm của y theo x là dy/dx = (2xy - x^2 - y^3/3) / (xy^2 - x^2 - 1).

Để khai triển hàm số $f(x) = \sqrt{x+1}$ theo công thức Maclaurin đến lũy thừa bậc 5 của x với phần dư dạng Peano, ta cần tính các đạo hàm của f(x) tại x = 0.

$f(x) = (x+1)^{1/2}$

$f'(x) = \frac{1}{2}(x+1)^{-1/2}$

$f''(x) = -\frac{1}{4}(x+1)^{-3/2}$

$f'''(x) = \frac{3}{8}(x+1)^{-5/2}$

$f^{(4)}(x) = -\frac{15}{16}(x+1)^{-7/2}$

$f^{(5)}(x) = \frac{105}{32}(x+1)^{-9/2}$

Tính các giá trị tại x = 0:

$f(0) = 1$

$f'(0) = \frac{1}{2}$ $f''(0) = -\frac{1}{4}$

$f'''(0) = \frac{3}{8}$ $f^{(4)}(0) = -\frac{15}{16}$

$f^{(5)}(0) = \frac{105}{32}$

Sử dụng công thức Maclaurin:

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \frac{f^{(5)}(0)}{5!}x^5 + o(x^5)$

$f(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \frac{7}{256}x^5 + o(x^5)$

Để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần có: lim (x→0) f(x) = f(0)

Tính lim (x→0) f(x): lim (x→0) f(x) = lim (x→0) [x*sin(1/x) / x + 2] = lim (x→0) [sin(1/x) + 2] Vì -1 <= sin(1/x) <= 1 nên khi x dần tới 0, sin(1/x) sẽ dao động giữa -1 và 1.

Do đó, giới hạn lim (x→0) sin(1/x) không tồn tại.

Tuy nhiên, câu hỏi có thể có một lỗi nhỏ trong biểu thức.

Nếu biểu thức đúng là `(x*sin(1/x))/x + 2` thì ta sẽ giải như sau: lim (x→0) [sin(1/x) + 2]

Nếu đề bài là `f(x) = sin(x)/x + 2` khi x != 0, thì lim (x→0) f(x) = lim (x→0) (sin(x) / x) + 2 = 1 + 2 = 3

Khi đó, để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần a = f(0) = 3.

Tuy nhiên, với biểu thức đã cho `f(x) = (x*sin(1/x)) / x + 2`, giới hạn không tồn tại khi x->0, trừ khi có sự triệt tiêu nào đó.

Nếu đề bài có thể sửa lại thành: `f(x) = x*sin(1/x) + 2` khi x!=0 và `f(x) = a` khi x = 0 Khi đó, lim (x→0) x*sin(1/x) + 2 = 0 + 2 = 2

Vậy a = 2.

Để tính giới hạn \(\lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x e^{-2x}}\) ta làm như sau:

Ta có thể viết lại biểu thức như sau: \(\lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x e^{-2x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x} e^{2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x} \cdot \lim_{x \to +\infty} e^{2x}\) Khi \(x \to +\infty\), \(-2x^2 + 3\) có bậc lớn nhất là \(x^2\) và \(x\) có bậc là 1.

Vì vậy, ta xét: \(\lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x} = \lim_{x \to +\infty} (-2x + \frac{3}{x})\) Khi \(x \to +\infty\), \(-2x \to -\infty\) và \(\frac{3}{x} \to 0\), do đó: \(\lim_{x \to +\infty} (-2x + \frac{3}{x}) = -\infty\)

Mặt khác, \(\lim_{x \to +\infty} e^{2x} = +\infty\)

Vậy, ta có một dạng \((-\infty) \cdot (+\infty)\), kết quả sẽ là \(-\infty\).

Do đó, \(\lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x e^{-2x}} = -\infty\)