Xác định giá trị của tham số a để hàm số sau liên tục tại x = 0:

f(x) =
\begin{cases}
\frac{x \sin\left(\tfrac{1}{x}\right)}{x} + 2, & x \neq 0 \\[6pt]
a, & x = 0
\end{cases}

Để tính giới hạn \(\lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x e^{-2x}}\) ta làm như sau:

Ta có thể viết lại biểu thức như sau: \(\lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x e^{-2x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x} e^{2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x} \cdot \lim_{x \to +\infty} e^{2x}\) Khi \(x \to +\infty\), \(-2x^2 + 3\) có bậc lớn nhất là \(x^2\) và \(x\) có bậc là 1.

Vì vậy, ta xét: \(\lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x} = \lim_{x \to +\infty} (-2x + \frac{3}{x})\) Khi \(x \to +\infty\), \(-2x \to -\infty\) và \(\frac{3}{x} \to 0\), do đó: \(\lim_{x \to +\infty} (-2x + \frac{3}{x}) = -\infty\)

Mặt khác, \(\lim_{x \to +\infty} e^{2x} = +\infty\)

Vậy, ta có một dạng \((-\infty) \cdot (+\infty)\), kết quả sẽ là \(-\infty\).

Do đó, \(\lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x e^{-2x}} = -\infty\)

Để xác định mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận, ta cần tìm điểm mà tại đó lợi nhuận (π) đạt giá trị lớn nhất.

Lợi nhuận được tính bằng doanh thu trừ đi chi phí: π = TR - TC.

Sau đó, ta tìm đạo hàm bậc nhất của lợi nhuận theo Q (π') và giải phương trình π' = 0 để tìm ra các điểm cực trị.

Cuối cùng, ta xét đạo hàm bậc hai (π'') để xác định điểm nào là điểm cực đại (tối đa hóa lợi nhuận).

1. Tính lợi nhuận (π): π = TR - TC = (1600Q - 2Q^2) - (Q^3 - 8Q^2 + 160Q + 680) = -Q^3 + 6Q^2 + 1440Q - 680 2.

Tính đạo hàm bậc nhất của lợi nhuận (π'): π' = dπ/dQ = -3Q^2 + 12Q + 1440 3.

Giải phương trình π' = 0: -3Q^2 + 12Q + 1440 = 0

Chia cả hai vế cho -3: Q^2 - 4Q - 480 = 0

Giải phương trình bậc hai này, ta được hai nghiệm: Q1 = 24 và Q2 = -20.

Vì sản lượng không thể âm, ta loại Q2 = -20.

Vậy Q = 24. 4.

Tính đạo hàm bậc hai của lợi nhuận (π''): π'' = d^2π/dQ^2 = -6Q + 12 5.

Kiểm tra điều kiện cực đại tại Q = 24: π''(24) = -6(24) + 12 = -144 + 12 = -132

Vì π''(24) < 0, Q = 24 là điểm cực đại, tức là mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận.

Để tìm đạo hàm của hàm ẩn y = y(x) được xác định bởi phương trình x^3 - 3(x^2 + 1)y + xy^3 = 1, ta thực hiện các bước sau:

1. Lấy đạo hàm hai vế theo x: Áp dụng quy tắc đạo hàm cho từng thành phần của phương trình, chú ý rằng y là hàm của x (y = y(x)).

* Đạo hàm của x^3 là 3x^2.

* Đạo hàm của -3(x^2 + 1)y là -3[(2x)y + (x^2 + 1)(dy/dx)].

* Đạo hàm của xy^3 là y^3 + x * 3y^2(dy/dx).

* Đạo hàm của 1 là 0.

Vậy, phương trình đạo hàm là: 3x^2 - 3[(2x)y + (x^2 + 1)(dy/dx)] + y^3 + 3xy^2(dy/dx) = 0.

2. Sắp xếp lại phương trình để giải dy/dx

** Mở rộng và nhóm các số hạng chứa dy/dx về một vế, các số hạng còn lại về vế kia. 3x^2 - 6xy - 3(x^2 + 1)(dy/dx) + y^3 + 3xy^2(dy/dx) = 0 [3xy^2 - 3(x^2 + 1)](dy/dx) = 6xy - 3x^2 - y^3 dy/dx = (6xy - 3x^2 - y^3) / [3xy^2 - 3(x^2 + 1)] 3.

Rút gọn biểu thức (nếu có thể): Chia cả tử và mẫu cho 3: dy/dx = (2xy - x^2 - y^3/3) / (xy^2 - x^2 - 1)

Vậy, đạo hàm của y theo x là dy/dx = (2xy - x^2 - y^3/3) / (xy^2 - x^2 - 1).

Để khai triển hàm số $f(x) = \sqrt{x+1}$ theo công thức Maclaurin đến lũy thừa bậc 5 của x với phần dư dạng Peano, ta cần tính các đạo hàm của f(x) tại x = 0.

$f(x) = (x+1)^{1/2}$

$f'(x) = \frac{1}{2}(x+1)^{-1/2}$

$f''(x) = -\frac{1}{4}(x+1)^{-3/2}$

$f'''(x) = \frac{3}{8}(x+1)^{-5/2}$

$f^{(4)}(x) = -\frac{15}{16}(x+1)^{-7/2}$

$f^{(5)}(x) = \frac{105}{32}(x+1)^{-9/2}$

Tính các giá trị tại x = 0:

$f(0) = 1$

$f'(0) = \frac{1}{2}$ $f''(0) = -\frac{1}{4}$

$f'''(0) = \frac{3}{8}$ $f^{(4)}(0) = -\frac{15}{16}$

$f^{(5)}(0) = \frac{105}{32}$

Sử dụng công thức Maclaurin:

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \frac{f^{(5)}(0)}{5!}x^5 + o(x^5)$

$f(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \frac{7}{256}x^5 + o(x^5)$