260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có đáp án chi tiết

Câu 1:

Cho A B, là hai ma trận vuông cấp 5. Giả sử dòng 2 của A bằng 0 và cột 3 của B bằng 0. Đặt C = AB, khi đó ta có

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Gọi $A = (a_{ij})_{5x5}$, $B = (b_{ij})_{5x5}$, $C = AB = (c_{ij})_{5x5}$.

Vì dòng 2 của A bằng 0, tức là $a_{2j} = 0$ với mọi $j = 1, 2, 3, 4, 5$.
Ta có $c_{2j} = \sum_{k=1}^{5} a_{2k}b_{kj} = \sum_{k=1}^{5} 0.b_{kj} = 0$ với mọi $j = 1, 2, 3, 4, 5$.
Vậy dòng 2 của C bằng 0.

Vì cột 3 của B bằng 0, tức là $b_{i3} = 0$ với mọi $i = 1, 2, 3, 4, 5$.
Ta có $c_{i3} = \sum_{k=1}^{5} a_{ik}b_{k3} = \sum_{k=1}^{5} a_{ik}.0 = 0$ với mọi $i = 1, 2, 3, 4, 5$.
Vậy cột 3 của C bằng 0.

Vậy dòng 2 và cột 3 của C bằng 0.

Câu 2:

Gọi V là không gian nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_5} = 0\\ 2{x_1} + 3{x_2} + 4{x_3} + 5{x_4} + 6{x_5} = 0\\ (m + 1){x_1} + 5{x_2} + 6{x_3} + 7{x_4} + 2(m + 1){x_5} = 0 \end{array} \right.$ .Tìm m để dimV lớn nhất

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Để dimV lớn nhất thì hạng của ma trận hệ số phải nhỏ nhất.

Ma trận hệ số của hệ là:

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1&1\\
2&3&4&5&6\\
m + 1&5&6&7&{2(m + 1)}
\end{array}} \right]$

Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên dòng:

+ ) ${R_2} - 2{R_1} \to {R_2}$

+ ) ${R_3} - (m + 1){R_1} \to {R_3}$

Ta được:

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1&1\\
0&1&2&3&4\\
0&{4 - m}&{5 - m}&{6 - m}&{m + 1}
\end{array}} \right]$

Tiếp tục biến đổi: ${R_3} - (4 - m){R_2} \to {R_3}$

Ta được:

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1&1\\
0&1&2&3&4\\
0&0&{ - 3 + m}&{ - 6 + 2m}&{ - 15 + 5m}
\end{array}} \right]$

Để hạng của ma trận nhỏ nhất thì $ - 3 + m = 0 \Leftrightarrow m = 3$

Vậy m = 3 thì dimV lớn nhất.

Câu 3:

Cho hệ phương trình tuyến tính A_mxnX = B với R(A)= m. Khi đó:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Xét hệ phương trình tuyến tính A_mxnX = B với R(A)= m. Điều này có nghĩa là hạng của ma trận A bằng số hàng của nó. Vì vậy, mọi vector B đều có thể biểu diễn tuyến tính qua các cột của A. Hay nói cách khác, hệ phương trình luôn có nghiệm.

Khi đó, ta có 2 trường hợp:

Nếu m = n: R(A) = n, hệ có nghiệm duy nhất.

Nếu m < n: hệ có vô số nghiệm.

Vậy, trong các phương án, đáp án chính xác nhất là "Hệ có nghiệm".

Câu 4:

Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B (1) với ${A_{mxn}}(m > n),\overline A = (A\left| B \right.)$. Ta có:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Hệ phương trình tuyến tính AX = B có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận mở rộng $\overline A = (A | B)$, tức là R(A) = R($\overline A $). Vì A là ma trận m x n với m > n, nên hạng của A tối đa là n. Nếu R(A) < R($\overline A $), hệ vô nghiệm. Nếu R(A) = R($\overline A $), hệ có nghiệm. Nghiệm của hệ không phải là không gian con của R^n (nó là không gian con khi B = 0). Phương án R(A) >= R($\overline A $) không đúng vì hạng của ma trận mở rộng không thể nhỏ hơn hạng của ma trận A. Vì vậy, các câu kia đều sai.

Câu 5:

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để số $z = {(\frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{{1 + i}})^n}$ là một số thực:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có:
$\frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{{1 + i}} = \frac{{\left( { - 1 + i\sqrt 3 } \right)\left( {1 - i} \right)}}{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)}} = \frac{{ - 1 + i + i\sqrt 3 + \sqrt 3 }}{2} = \frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right) + i\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2}$
Đặt $z = r\left( {cos\varphi + isin\varphi } \right)$, khi đó:
$r = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 + 1}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{3 - 2\sqrt 3 + 1 + 3 + 2\sqrt 3 + 1}}{4}} = \sqrt {\frac{8}{4}} = \sqrt 2 $
$cos\varphi = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{2\sqrt 2 }};sin\varphi = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{{2\sqrt 2 }}$ suy ra $\varphi = \frac{{5\pi }}{{12}}$
Do đó, $z = {(\frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{{1 + i}})^n} = {(\sqrt 2 )^n}(cos(\frac{{5n\pi }}{{12}}) + isin(\frac{{5n\pi }}{{12}}))$
z là số thực khi và chỉ khi $sin(\frac{{5n\pi }}{{12}}) = 0$ suy ra $\frac{{5n\pi }}{{12}} = k\pi $ hay $n = \frac{{12k}}{5}$ với k là số nguyên.
Để n nguyên dương nhỏ nhất thì k=5, suy ra n=12.