Cho \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 1&4 \end{array}} \right)\). Tìm số nguyên dương nhỏ nhất m để det(A^m) = 0.

Để tính định thức của ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&3&1\\
3&4&2\\
5&3&{ - 1}
\end{array}} \right]\), ta thực hiện các bước sau:

1. Tính định thức của ma trận A:

\(\begin{aligned}
\det(A) &= 2\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} - 3\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} \\
&= 2(4(-1) - 2(3)) - 3(3(-1) - 2(5)) + 1(3(3) - 4(5)) \\
&= 2(-4 - 6) - 3(-3 - 10) + (9 - 20) \\
&= 2(-10) - 3(-13) + (-11) \\
&= -20 + 39 - 11 \\
&= 8
\end{aligned}\)

1. Tính det(P_A). Trong trường hợp này, P_A có thể là đa thức đặc trưng hoặc một ma trận liên quan đến A. Tuy nhiên, nếu P_A là một ma trận mà định thức của nó liên quan trực tiếp đến định thức của A, thì đáp án có thể là một lũy thừa của det(A). Trong trường hợp này det(A) = 8. Vậy nên det(P_A) có thể là 8 hoặc 64 hoặc 512.

Nếu P_A là ma trận phụ hợp (adjugate) của A, thì det(adj(A)) = det(A)^n-1, với n là kích thước của ma trận A. Trong trường hợp này, n = 3, nên det(adj(A)) = det(A)² = 8² = 64.

Nếu P_A là một ma trận khác, ta cần thêm thông tin để xác định chính xác det(P_A).

Trong các đáp án đã cho, 64 có vẻ là hợp lý nhất nếu P_A là ma trận phụ hợp của A.

Ta có det(kA) = kⁿdet(A), với A là ma trận vuông cấp n.

det(2A⁻¹) = 2³det(A⁻¹) = 8 * (1/det(A)) = 8 * (1/-3) = -8/3

Để hệ phương trình vô nghiệm, ta cần xét định thức của ma trận hệ số và điều kiện để hệ có nghiệm hoặc vô nghiệm. Biến đổi hệ phương trình về dạng ma trận mở rộng: \(\left[ {\begin{array}{ccc|c} 1&3&1&{ - 1}\\ { - 2}&{ - 6}&{m - 1}&4\\ 4&{12}&{3 + {m^2}}&{m - 3} \end{array}} \right]\) Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận về dạng bậc thang: H2 = H2 + 2*H1 H3 = H3 - 4*H1 \(\left[ {\begin{array}{ccc|c} 1&3&1&{ - 1}\\ 0&0&{m + 1}&2\\ 0&0&{{m^2} - 1}&{m + 1} \end{array}} \right]\) Tiếp tục biến đổi: H3 = H3 - (m-1)*H2 \(\left[ {\begin{array}{ccc|c} 1&3&1&{ - 1}\\ 0&0&{m + 1}&2\\ 0&0&0&{m + 1 - 2(m - 1)} \end{array}} \right]\) \(\left[ {\begin{array}{ccc|c} 1&3&1&{ - 1}\\ 0&0&{m + 1}&2\\ 0&0&0&{ - m + 3} \end{array}} \right]\) Để hệ vô nghiệm, ta cần: * m + 1 = 0 và -m + 3 != 0, suy ra m = -1 và m != 3. Vậy m = -1 * m + 1 != 0 và -m + 3 = 0, suy ra m != -1 và m = 3. Nếu m = -1, hệ trở thành: \(\left[ {\begin{array}{ccc|c} 1&3&1&{ - 1}\\ 0&0&0&2\\ 0&0&0&4 \end{array}} \right]\) Hệ vô nghiệm. Nếu m = 3, hệ trở thành: \(\left[ {\begin{array}{ccc|c} 1&3&1&{ - 1}\\ 0&0&4&2\\ 0&0&0&0 \end{array}} \right]\) Hệ có nghiệm. Vậy, hệ vô nghiệm khi m = -1.