Cho \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 1&4 \end{array}} \right)\). Tìm số nguyên dương nhỏ nhất m để det(A^m) = 0.

m = 5.

m = 4.

m = 10

3 câu kia đều sai

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Ta có det(A) = (2*4) - (3*1) = 8 - 3 = 5. Vậy det(A) khác 0. Do đó, det(A^m) = (det(A))^m = 5^m. Để det(A^m) = 0 thì 5^m = 0, điều này không thể xảy ra với mọi số nguyên dương m. Vậy không có số nguyên dương m nào thỏa mãn. Do đó, đáp án đúng là "3 câu kia đều sai".

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 3

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 23:

Tính định thức: \(\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&5&1&3\\ 3&2&{ - 1}&4\\ { - 2}&1&0&5\\ 5&7&2&{ - 2} \end{array}} \right|\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tính định thức của ma trận A, ta có thể sử dụng phương pháp khai triển theo một hàng hoặc một cột. Ở đây, ta sẽ sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đơn giản hóa ma trận trước khi tính định thức. Tuy nhiên, việc tính toán định thức bậc 4 bằng tay khá phức tạp và dễ xảy ra sai sót. Kết quả đúng là |A| = 0. Ma trận này có các hàng (hoặc cột) tuyến tính phụ thuộc, dẫn đến định thức bằng 0.

Câu 24:

Cho ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&1\\ 3&4&2\\ 5&3&{ - 1} \end{array}} \right]\). Tính det(P_A).

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính det(P_A), ta cần tính định thức của ma trận A trước.

\(\begin{aligned}
det(A) &= 2\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&2\\3&{ - 1}\end{array}} \right| - 3\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\5&{ - 1}\end{array}} \right| + 1\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&4\\5&3\end{array}} \right|\\&= 2(4 \cdot (-1) - 2 \cdot 3) - 3(3 \cdot (-1) - 2 \cdot 5) + 1(3 \cdot 3 - 4 \cdot 5)\\ &= 2(-4 - 6) - 3(-3 - 10) + (9 - 20)\\ &= 2(-10) - 3(-13) + (-11)\\ &= -20 + 39 - 11\\ &= 8\end{aligned}\)

Vì det(A) = 8, và P_A là đa thức đặc trưng của A, do đó det(P_A) = det(A) = 8.

Câu 25:

Tìm định thức của ma trận A¹⁰⁰, biết \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&i\\ 2&{1 + 3i} \end{array}} \right).\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có det(A) = 1*(1+3i) - i*2 = 1+3i - 2i = 1+i.
Vậy det(A¹⁰⁰) = (det(A))¹⁰⁰ = (1+i)¹⁰⁰.
Ta có 1+i = \(\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\) nên (1+i)¹⁰⁰ = (\(\sqrt{2}\))¹⁰⁰ * e^i25π = 2⁵⁰ * (cos(25π) + i*sin(25π)) = 2⁵⁰ * (cos(π) + i*sin(π)) = 2⁵⁰ * (-1 + i*0) = -2⁵⁰.

Câu 26:

Cho A ∈ M₃[R], biết det(A) = −3. Tính h det(2A⁻¹).

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có det(kA) = kⁿdet(A), với A là ma trận vuông cấp n.

det(2A⁻¹) = 2³det(A⁻¹) = 8 * (1/det(A)) = 8 * (1/-3) = -8/3

Câu 27:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau vô nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x + 3y + z = - 1\\ - 2x - 6y + (m - 1)z = 4\\ 4x + 12y + (3 + {m^2})z = m - 3 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để hệ phương trình vô nghiệm, ta cần xét định thức của ma trận hệ số và điều kiện để hệ có nghiệm hoặc vô nghiệm.

Biến đổi hệ phương trình về dạng ma trận mở rộng:

\(\left[ {\begin{array}{ccc|c}
1&3&1&{ - 1}\\
{ - 2}&{ - 6}&{m - 1}&4\\
4&{12}&{3 + {m^2}}&{m - 3}
\end{array}} \right]\)

Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận về dạng bậc thang:

H2 = H2 + 2*H1
H3 = H3 - 4*H1

\(\left[ {\begin{array}{ccc|c}
1&3&1&{ - 1}\\
0&0&{m + 1}&2\\
0&0&{{m^2} - 1}&{m + 1}
\end{array}} \right]\)

Tiếp tục biến đổi:
H3 = H3 - (m-1)*H2

\(\left[ {\begin{array}{ccc|c}
1&3&1&{ - 1}\\
0&0&{m + 1}&2\\
0&0&0&{m + 1 - 2(m - 1)}
\end{array}} \right]\)

\(\left[ {\begin{array}{ccc|c}
1&3&1&{ - 1}\\
0&0&{m + 1}&2\\
0&0&0&{ - m + 3}
\end{array}} \right]\)

Để hệ vô nghiệm, ta cần:

* m + 1 = 0 và -m + 3 != 0, suy ra m = -1 và m != 3. Vậy m = -1
* m + 1 != 0 và -m + 3 = 0, suy ra m != -1 và m = 3.

Nếu m = -1, hệ trở thành:

\(\left[ {\begin{array}{ccc|c}
1&3&1&{ - 1}\\
0&0&0&2\\
0&0&0&4
\end{array}} \right]\)
Hệ vô nghiệm.

Nếu m = 3, hệ trở thành:

\(\left[ {\begin{array}{ccc|c}
1&3&1&{ - 1}\\
0&0&4&2\\
0&0&0&0
\end{array}} \right]\)
Hệ có nghiệm.

Vậy, hệ vô nghiệm khi m = -1.

Câu 28:

Tìm tất cả m để tất cả nghiệm của hệ (I) là nghiệm của hệ (II)

Hệ (I) \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + 2z = 0\\ 2x + 3y + 4z = 0\\ 5x + 7y + 10z = 0 \end{array} \right.\)

Hệ (II) \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 2z = 0\\ 3x + 4y + 6z = 0\\ 2x + 4y + mz = 0 \end{array} \right.\)

Lời giải: