Cho ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&1\\ 3&4&2\\ 5&3&{ - 1} \end{array}} \right]\). Tính det(P_A).

512

3 câu kia đều sai

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Để tính det(P_A), ta cần tính định thức của ma trận A trước. \(\begin{aligned} det(A) &= 2\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&2\\3&{ - 1}\end{array}} \right| - 3\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\5&{ - 1}\end{array}} \right| + 1\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&4\\5&3\end{array}} \right|\\&= 2(4 \cdot (-1) - 2 \cdot 3) - 3(3 \cdot (-1) - 2 \cdot 5) + 1(3 \cdot 3 - 4 \cdot 5)\\ &= 2(-4 - 6) - 3(-3 - 10) + (9 - 20)\\ &= 2(-10) - 3(-13) + (-11)\\ &= -20 + 39 - 11\\ &= 8\end{aligned}\) Vì det(A) = 8, và P_A là đa thức đặc trưng của A, do đó det(P_A) = det(A) = 8.

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 3

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 25:

Tìm định thức của ma trận A¹⁰⁰, biết \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&i\\ 2&{1 + 3i} \end{array}} \right).\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có det(A) = 1*(1+3i) - i*2 = 1+3i - 2i = 1+i.
Vậy det(A¹⁰⁰) = (det(A))¹⁰⁰ = (1+i)¹⁰⁰.
Ta có 1+i = \(\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\) nên (1+i)¹⁰⁰ = (\(\sqrt{2}\))¹⁰⁰ * e^i25π = 2⁵⁰ * (cos(25π) + i*sin(25π)) = 2⁵⁰ * (cos(π) + i*sin(π)) = 2⁵⁰ * (-1 + i*0) = -2⁵⁰.

Câu 26:

Cho A ∈ M₃[R], biết det(A) = −3. Tính h det(2A⁻¹).

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có det(kA) = kⁿdet(A), với A là ma trận vuông cấp n.

det(2A⁻¹) = 2³det(A⁻¹) = 8 * (1/det(A)) = 8 * (1/-3) = -8/3

Câu 27:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau vô nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x + 3y + z = - 1\\ - 2x - 6y + (m - 1)z = 4\\ 4x + 12y + (3 + {m^2})z = m - 3 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để hệ phương trình vô nghiệm, ta cần xét định thức của ma trận hệ số và điều kiện để hệ có nghiệm hoặc vô nghiệm.

Biến đổi hệ phương trình về dạng ma trận mở rộng:

\(\left[ {\begin{array}{ccc|c}
1&3&1&{ - 1}\\
{ - 2}&{ - 6}&{m - 1}&4\\
4&{12}&{3 + {m^2}}&{m - 3}
\end{array}} \right]\)

Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận về dạng bậc thang:

H2 = H2 + 2*H1
H3 = H3 - 4*H1

\(\left[ {\begin{array}{ccc|c}
1&3&1&{ - 1}\\
0&0&{m + 1}&2\\
0&0&{{m^2} - 1}&{m + 1}
\end{array}} \right]\)

Tiếp tục biến đổi:
H3 = H3 - (m-1)*H2

\(\left[ {\begin{array}{ccc|c}
1&3&1&{ - 1}\\
0&0&{m + 1}&2\\
0&0&0&{m + 1 - 2(m - 1)}
\end{array}} \right]\)

\(\left[ {\begin{array}{ccc|c}
1&3&1&{ - 1}\\
0&0&{m + 1}&2\\
0&0&0&{ - m + 3}
\end{array}} \right]\)

Để hệ vô nghiệm, ta cần:

* m + 1 = 0 và -m + 3 != 0, suy ra m = -1 và m != 3. Vậy m = -1
* m + 1 != 0 và -m + 3 = 0, suy ra m != -1 và m = 3.

Nếu m = -1, hệ trở thành:

\(\left[ {\begin{array}{ccc|c}
1&3&1&{ - 1}\\
0&0&0&2\\
0&0&0&4
\end{array}} \right]\)
Hệ vô nghiệm.

Nếu m = 3, hệ trở thành:

\(\left[ {\begin{array}{ccc|c}
1&3&1&{ - 1}\\
0&0&4&2\\
0&0&0&0
\end{array}} \right]\)
Hệ có nghiệm.

Vậy, hệ vô nghiệm khi m = -1.

Câu 28:

Tìm tất cả m để tất cả nghiệm của hệ (I) là nghiệm của hệ (II)

Hệ (I) \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + 2z = 0\\ 2x + 3y + 4z = 0\\ 5x + 7y + 10z = 0 \end{array} \right.\)

Hệ (II) \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 2z = 0\\ 3x + 4y + 6z = 0\\ 2x + 4y + mz = 0 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Hệ (I) có nghiệm duy nhất (0, 0, 0). Để tất cả nghiệm của hệ (I) là nghiệm của hệ (II), hệ (II) phải có nghiệm (0, 0, 0). Vì hệ (II) là hệ thuần nhất, (0, 0, 0) luôn là nghiệm. Vì vậy, ta cần tìm m để nghiệm của hệ (I) luôn là nghiệm của hệ (II). Do nghiệm của hệ (I) là (0, 0, 0) nên ta không cần điều kiện gì thêm cho m. Tuy nhiên, câu hỏi yêu cầu "tất cả nghiệm", nên cần xét xem hệ (II) có nghiệm khác (0, 0, 0) hay không. Nếu hệ (II) chỉ có nghiệm (0, 0, 0), thì mọi m đều thỏa mãn. Nếu hệ (II) có nghiệm khác (0, 0, 0), thì (0, 0, 0) vẫn là nghiệm của (I).

Xét hệ (II):
x + 2y + 2z = 0
3x + 4y + 6z = 0
2x + 4y + mz = 0

Lấy 3 nhân phương trình 1 trừ phương trình 2: 3(x + 2y + 2z) - (3x + 4y + 6z) = 0 => 2y = 0 => y = 0
Thay y = 0 vào hệ:
x + 2z = 0
3x + 6z = 0
2x + mz = 0

Từ x + 2z = 0 => x = -2z
Thay vào 2x + mz = 0 => -4z + mz = 0 => (m - 4)z = 0

Nếu m = 4, thì z tùy ý, x = -2z, y = 0. Khi đó, hệ (II) có vô số nghiệm. Do đó, mọi nghiệm của (I) (chỉ có nghiệm (0, 0, 0)) đều là nghiệm của (II).
Nếu m != 4, thì z = 0, x = 0, y = 0. Khi đó, hệ (II) chỉ có nghiệm (0, 0, 0), và mọi nghiệm của (I) (chỉ có nghiệm (0, 0, 0)) đều là nghiệm của (II).
Vậy m = 4 là một giá trị thỏa mãn.

Tuy nhiên, nếu hệ (II) có nghiệm khác (0,0,0) thì cần kiểm tra lại. Ví dụ, với m=4, hệ (II) có nghiệm (-2,0,1). Nghiệm này có phải là nghiệm của (I) không? (-2) + 0 + 2(1) = 0; 2(-2) + 3(0) + 4(1) = 0; 5(-2) + 7(0) + 10(1) = 0. Vậy (-2,0,1) là nghiệm của (I).
Như vậy, m = 4 thỏa mãn.

Câu 29:

Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} 2x - 4y + 6z = 0{\rm{ }}\\ 3x - 6y + 9z = 0{\rm{ }}\\ 5x - 10y + 15z = 0 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Hệ phương trình đã cho tương đương với phương trình duy nhất: \(x - 2y + 3z = 0\).

Đặt \(y = \alpha \) và \(z = \beta \), với \(\alpha , \beta \in C\), ta có \(x = 2y - 3z = 2\alpha - 3\beta \).

Vậy nghiệm của hệ là: \(x = 2\alpha - 3\beta ,{\rm{ }}y = \alpha ,{\rm{ }}z = \beta ,\alpha ,\beta \in C\).

Câu 30:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau vô nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + z{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\ 2x + 5y + 3z = 5{\rm{ }}\\ 3x + 7y + {m^2}z = 5 \end{array} \right.\)

Lời giải: