Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} 2x - 4y + 6z = 0{\rm{ }}\\ 3x - 6y + 9z = 0{\rm{ }}\\ 5x - 10y + 15z = 0 \end{array} \right.\)

\(x = y = 3\alpha ,z = \alpha ,\alpha \in C\)

\(x = 2\alpha + \beta ,{\rm{ }}y = \alpha ,{\rm{ }}z = \beta ,\alpha ,\beta \in C\)

\(x = 2\alpha - 3\beta ,{\rm{ }}y = \alpha ,{\rm{ }}z = \beta ,\alpha ,\beta \in C\)

\(x = - \alpha ,{\rm{ }}y = z = \alpha ,\alpha \in C\)

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Hệ phương trình đã cho tương đương với phương trình duy nhất: \(x - 2y + 3z = 0\). Đặt \(y = \alpha \) và \(z = \beta \), với \(\alpha , \beta \in C\), ta có \(x = 2y - 3z = 2\alpha - 3\beta \). Vậy nghiệm của hệ là: \(x = 2\alpha - 3\beta ,{\rm{ }}y = \alpha ,{\rm{ }}z = \beta ,\alpha ,\beta \in C\).

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 3

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 30:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau vô nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + z{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\ 2x + 5y + 3z = 5{\rm{ }}\\ 3x + 7y + {m^2}z = 5 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta viết lại hệ phương trình dưới dạng ma trận mở rộng:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&1&1\\
2&5&3&5\\
3&7&{{m^2}}&5
\end{array}} \right]\)

Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&1&1\\
0&1&1&3\\
0&1&{{m^2} - 3}&2
\end{array}} \right]\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&1&1\\
0&1&1&3\\
0&0&{{m^2} - 4}&{ - 1}
\end{array}} \right]\)

Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi \({m^2} - 4 = 0\) và \( - 1 \ne 0\) (luôn đúng).

\( \Leftrightarrow {m^2} = 4 \Leftrightarrow m = \pm 2\)

Câu 31:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau chỉ có nghiệm bằng không

\(\left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} - {\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} - {\rm{ }}2t{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }} + {\rm{ }}mt{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ 4x{\rm{ }} + {\rm{ }}5y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} + {\rm{ }}mt{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để hệ phương trình chỉ có nghiệm bằng không (nghiệm tầm thường), định thức của ma trận hệ số phải khác 0.
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} - {\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\
2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} - {\rm{ }}2t{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\
3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }} + {\rm{ }}mt{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\
4x{\rm{ }} + {\rm{ }}5y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} + {\rm{ }}mt{\rm{ }} = {\rm{ }}0
\end{array} \right.\)
Ma trận hệ số của hệ phương trình là:
\(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 3 & -2 \\ 3 & 2 & 2 & m \\ 4 & 5 & 3 & m \end{bmatrix}\)
Để đơn giản, ta biến đổi ma trận này bằng cách sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng:

R2 = R2 - 2R1; R3 = R3 - 3R1; R4 = R4 - 4R1
\(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & m+3 \\ 0 & 1 & -1 & m+4 \end{bmatrix}\)
R3 = R3 + R2; R4 = R4 - R2
\(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & m+3 \\ 0 & 0 & -2 & m+4 \end{bmatrix}\)
Hoán đổi R3 và R4
\(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & m+4 \\ 0 & 0 & 0 & m+3 \end{bmatrix}\)
Định thức của ma trận này là 1 * 1 * (-2) * (m+3) = -2(m+3).
Để hệ chỉ có nghiệm tầm thường, định thức phải khác 0, tức là -2(m+3) \(\ne\) 0, suy ra m \(\ne\) -3.
Vậy, đáp án đúng là \(m \ne - 3\).

Câu 32:

Tính \(A=\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&2&3\\ 0&2&1&0\\ 3&1&0&{ - 1}\\ 0&1&{ - 1}&0 \end{array}} \right|\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có:

\(A = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{-1}&2&3\\ 0&2&1&0\\ 3&1&0&{-1}\\ 0&1&{-1}&0 \end{array}} \right|\)
\xrightarrow{C_1 \rightarrow C_1 - 3C_3} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} -5&{-1}&2&3\\ -3&2&1&0\\ 3&1&0&{-1}\\ 3&1&{-1}&0 \end{array}} \right|\)
\xrightarrow{C_4 \rightarrow C_4 + C_3} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} -5&{-1}&2&5\\ -3&2&1&1\\ 3&1&0&{-1}\\ 3&1&{-1}&{-1} \end{array}} \right|\)
\xrightarrow{C_4 \rightarrow C_4 + C_3} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} -5&{-1}&2&5\\ -3&2&1&1\\ 3&1&0&{-1}\\ 0&0&0&0 \end{array}} \right| = 0\)

Phân tích lại:

Sử dụng khai triển Laplace theo cột 1:

\(A = 1 \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&0\\ 1&0&{-1}\\ 1&{-1}&0 \end{array}} \right| - 0 + 3 \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} -1&2&3\\ 2&1&0\\ 1&{-1}&0 \end{array}} \right| - 0\)
\(= 1(2(0-1)-1(0+1)+0) + 3(-1(0)-2(0)+3(-2-1))\)
\(= 1(-2-1) + 3(3(-3)) = -3 -27 = -30\)

Câu 33:

Tính \(A= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&3\\ 0&1&0&4\\ 0&2&0&1\\ 3&1&a&b \end{array}} \right|\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính định thức của ma trận A, ta có thể sử dụng khai triển Laplace theo cột đầu tiên. Tuy nhiên, để đơn giản hơn, ta sẽ sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận về dạng tam giác trên.

Ma trận A là:

\(A= \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&{ - 1}&3\\
0&1&0&4\\
0&2&0&1\\
3&1&a&b
\end{array}} \right|\)

Trừ 3 lần hàng 1 từ hàng 4, ta được:

\(A= \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&{ - 1}&3\\
0&1&0&4\\
0&2&0&1\\
0&{ - 5}&{a + 3}&{b - 9}
\end{array}} \right|\)

Tiếp theo, trừ 2 lần hàng 2 từ hàng 3, và cộng 5 lần hàng 2 vào hàng 4, ta được:

\(A= \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&{ - 1}&3\\
0&1&0&4\\
0&0&0&{ - 7}\\
0&0&{a + 3}&{b + 11}
\end{array}} \right|\)

Đổi chỗ hàng 3 và hàng 4, ta đổi dấu định thức:

\(A= - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&{ - 1}&3\\
0&1&0&4\\
0&0&{a + 3}&{b + 11}\\
0&0&0&{ - 7}
\end{array}} \right|\)

Định thức của ma trận tam giác trên bằng tích các phần tử trên đường chéo chính:

\(A = -1 * 1 * (a+3) * (-7) = 7(a+3) = 7a + 21\)

Vậy A = 7a + 21.

Câu 34:

Cho \(f(x)=\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&x\\ 3&4&2&{\mathop x\nolimits^2 }\\ { - 2}&1&3&{2x}\\ 1&{ - 1}&2&1 \end{array}} \right|\). Khẳng định đúng là?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Tính định thức của ma trận, ta khai triển theo cột cuối cùng. Khi đó, ta thấy bậc cao nhất của x là 2. Vậy bậc của f nhỏ hơn hoặc bằng 2.

Câu 35:

Tính \(I=\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ a&b&c\\ {b + a}&{c + a}&{a + b} \end{array}} \right|\)

Lời giải: