Vì M = {x, y, z} là tập cơ sở của không gian vector V nên:
- Dim(V) = 3, do đó phương án 2 sai.
- Mọi vector trong V đều có thể biểu diễn tuyến tính qua x, y, z một cách duy nhất.
- Một tập hợp là cơ sở của V nếu nó độc lập tuyến tính và sinh ra V.
Xét phương án 1: {x, y, x + z}. Để kiểm tra xem nó có phải là cơ sở hay không, ta xét tính độc lập tuyến tính:
a.x + b.y + c.(x + z) = 0
(a + c).x + b.y + c.z = 0
Vì x, y, z độc lập tuyến tính nên a + c = 0, b = 0, c = 0 => a = 0, b = 0, c = 0. Do đó, {x, y, x + z} độc lập tuyến tính. Tuy nhiên, {x, y, x + z} không thể sinh ra V vì không thể biểu diễn z qua x, y, x+z.
Xét phương án 3: {x, y, x + y + z}. Ta có thể biểu diễn (x + y + z) = 1.x + 1.y + 1.z. Vì x, y, z độc lập tuyến tính, nên hệ số của chúng phải khác 0. Do đó, {x, y, x + y + z} độc lập tuyến tính, không phụ thuộc tuyến tính. Vậy phương án 3 sai.
Xét phương án 4: {x, y, 2x + y}. Ta có thể biểu diễn (2x + y) = 2.x + 1.y + 0.z. Do đó, 2x + y thuộc V. Tuy nhiên, {x, y, 2x + y} không thể sinh ra V vì không thể biểu diễn z qua x, y, 2x+y.
Xét phương án 1: {x, y, x + z} là cơ sở của V khi và chỉ khi nó độc lập tuyến tính và sinh ra V. Ta thấy rằng {x, y, x + z} độc lập tuyến tính. Tuy nhiên, nó không thể sinh ra V vì không thể biểu diễn z qua x, y và x + z. Chú ý rằng phương án 1 có thể đúng trong một số trường hợp (ví dụ khi z là tổ hợp tuyến tính của x và y), nhưng câu hỏi yêu cầu khẳng định "luôn đúng".
Tuy nhiên, sau khi xem xét kỹ lưỡng, ta thấy rằng không có đáp án nào đúng hoàn toàn trong các lựa chọn đã cho. Vì đề bài yêu cầu chọn khẳng định "luôn đúng", và cả 4 phương án đều không thỏa mãn điều kiện này, ta có thể kết luận rằng có lẽ có một sai sót trong đề bài hoặc các phương án trả lời.
Trong trường hợp này, chúng ta cần xem xét lại đề bài và các phương án trả lời một cách cẩn thận để xác định xem có bất kỳ thông tin nào bị thiếu hoặc không chính xác hay không.
Do không có đáp án đúng, nên theo quy tắc, chúng ta không thể chọn một đáp án nào.
