Cho \(A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&1\\ 2&4&2\\ 3&{ - 1}&4 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&2\\ 2&3&m\\ 3&0&{m + 1} \end{array}} \right)\) . Tìm m để A khả nghịch

Vì không gian véctơ V có chiều bằng 3, và {x, y} độc lập tuyến tính, nên để V = <x, y, z> thì {x, y, z} phải là một cơ sở của V. Điều này có nghĩa là z phải độc lập tuyến tính với x và y.

- Phương án 1: V = <x, y, 2x>. Vì 2x là tổ hợp tuyến tính của x, nên {x, y, 2x} không độc lập tuyến tính, do đó không thể sinh ra V.

- Phương án 2: Tập {x, y, 0} không độc lập tuyến tính vì luôn có tổ hợp tuyến tính khác không bằng 0 (ví dụ: 0*x + 0*y + 1*0 = 0).

- Phương án 3: V = <x, y, x + 2y>. Vì x + 2y là tổ hợp tuyến tính của x và y, nên {x, y, x + 2y} không độc lập tuyến tính, do đó không thể sinh ra V.

- Phương án 4: {x, y, x - y} sinh ra không gian 2 chiều. Vì x - y là tổ hợp tuyến tính của x và y, nên không gian sinh bởi {x, y, x - y} chỉ là không gian sinh bởi {x, y}, tức là không gian 2 chiều.

Vì M = {x, y, z} là tập cơ sở của không gian vectơ V, ta có dim(V) = 3. Điều này có nghĩa là mọi tập hợp gồm 3 vectơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của V, và mọi tập hợp sinh ra V đều phải có ít nhất 3 vectơ.

Xét các phương án:

• Phương án 1: {x, y, x + z}. Để kiểm tra xem tập này có phải là cơ sở hay không, ta cần kiểm tra tính độc lập tuyến tính. Giả sử a.x + b.y + c.(x + z) = 0. Điều này tương đương với (a + c).x + b.y + c.z = 0. Vì {x, y, z} là cơ sở, nên a + c = 0, b = 0, c = 0. Suy ra a = 0, b = 0, c = 0. Vậy {x, y, x + z} độc lập tuyến tính. Tuy nhiên, tập này chỉ có 3 vectơ, mà dim(V)=3 nên {x, y, x + z} là cơ sở của V. Vậy phương án này đúng.


• Phương án 2: Dim (V) = 2. Sai, vì M = {x, y, z} là cơ sở nên dim(V) = 3.


• Phương án 3: {x, y, x + y + z} phụ thuộc tuyến tính. Sai, vì {x, y, x + y + z} độc lập tuyến tính (tương tự như phân tích ở phương án 1).


• Phương án 4: {x, y, 2x + y} sinh ra V. Sai, vì {x, y, 2x + y} chỉ là tổ hợp tuyến tính của x và y, không thể sinh ra z, do đó không thể sinh ra V. Tập này chỉ sinh ra không gian con 2 chiều.