Cho không gian véctơ V có chiều bằng 3, biết {x, y} độc lập tuyến tính. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho ba vectơ {x, y, z} là cơ sở của không gian vectơ V. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Vì {x, y, z} là cơ sở của không gian vectơ V, nên chúng độc lập tuyến tính và mọi vectơ trong V đều có thể biểu diễn tuyến tính qua {x, y, z}.

* Đáp án 1: {x, y, 2y} sinh ra V là sai, vì 2y phụ thuộc tuyến tính vào y, nên họ này không thể là cơ sở và không sinh ra V.
* Đáp án 2: {x, 2y, z} phụ thuộc tuyến tính là sai, vì {x, y, z} độc lập tuyến tính, nên {x, 2y, z} cũng độc lập tuyến tính.
* Đáp án 3: Xét họ {x, x + y, x − 2y}. Ta có thể biểu diễn x − 2y = a*x + b*(x + y) để kiểm tra sự phụ thuộc tuyến tính. Giải hệ phương trình a+b = 1 và b = -2 ta được a = 3 và b = -2. Vậy x − 2y = 3x - 2(x + y), suy ra {x, x + y, x − 2y} phụ thuộc tuyến tính. Tuy nhiên, {x, x+y} độc lập tuyến tính nên hạng của họ là 2.
* Đáp án 4: {x, y, x + y + z} không sinh ra V là sai. Vì x, y, z là cơ sở của V nên mọi phần tử của V đều biểu diễn được qua x, y, z. Suy ra x + y + z thuộc V. Khi đó {x, y, x+y+z} là một cơ sở khác của V.

Vậy đáp án đúng là: Hạng của họ {x, x + y, x − 2y} bằng 2.

Câu 41:

Với giá trị nào của k thì \(M = {(1 , 1 ,1 ) , ( 1 ,2, 3 ) , ( 3, 4,5 ) , ( 1 , 1 , k) }\) không sinh ra R₃?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tập M không sinh ra R3, các vectơ trong M phải phụ thuộc tuyến tính. Ta xét các vectơ (1, 1, 1), (1, 2, 3), (3, 4, 5). Nhận thấy (3, 4, 5) = (1, 1, 1) + 2 * (1, 2, 3). Vậy (3, 4, 5) là tổ hợp tuyến tính của (1, 1, 1) và (1, 2, 3). Do đó, R3 được sinh bởi M khi và chỉ khi (1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 1, k) độc lập tuyến tính. Điều này xảy ra khi định thức của ma trận tạo bởi ba vectơ này khác 0. Ma trận đó là:

| 1 1 1 |
| 1 2 1 |
| 1 3 k |

Định thức là: 1*(2k - 3) - 1*(k - 1) + 1*(3 - 2) = 2k - 3 - k + 1 + 1 = k - 1. Để M không sinh ra R3, định thức phải bằng 0, tức là k - 1 = 0, suy ra k = 1.

Câu 42:

Cho M = {x, y, z} là tập cơ sở của không gian vecto V. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Vì M = {x, y, z} là tập cơ sở của không gian vectơ V, ta có dim(V) = 3. Điều này có nghĩa là mọi tập hợp gồm 3 vectơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của V, và mọi tập hợp sinh ra V đều phải có ít nhất 3 vectơ.

Xét các phương án:

Phương án 1: {x, y, x + z}. Để kiểm tra xem tập này có phải là cơ sở hay không, ta cần kiểm tra tính độc lập tuyến tính. Giả sử a.x + b.y + c.(x + z) = 0. Điều này tương đương với (a + c).x + b.y + c.z = 0. Vì {x, y, z} là cơ sở, nên a + c = 0, b = 0, c = 0. Suy ra a = 0, b = 0, c = 0. Vậy {x, y, x + z} độc lập tuyến tính. Tuy nhiên, tập này chỉ có 3 vectơ, mà dim(V)=3 nên {x, y, x + z} là cơ sở của V. Vậy phương án này đúng.

Phương án 2: Dim (V) = 2. Sai, vì M = {x, y, z} là cơ sở nên dim(V) = 3.

Phương án 3: {x, y, x + y + z} phụ thuộc tuyến tính. Sai, vì {x, y, x + y + z} độc lập tuyến tính (tương tự như phân tích ở phương án 1).

Phương án 4: {x, y, 2x + y} sinh ra V. Sai, vì {x, y, 2x + y} chỉ là tổ hợp tuyến tính của x và y, không thể sinh ra z, do đó không thể sinh ra V. Tập này chỉ sinh ra không gian con 2 chiều.

Câu 43:

Cho M = {x, y, z} là cơ sở của không gian vecto thực V. Với giá trị nào của số thực m thì \(2x + 3y + z, mx + 2y + z, x + y + z\) cũng là cơ sở?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để \(2x + 3y + z, mx + 2y + z, x + y + z\) là cơ sở của V, thì định thức của ma trận tạo bởi các vectơ này phải khác 0. Ta có ma trận:
\(\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ m & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\)
Tính định thức của ma trận này:
\(\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ m & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(2-1) - 3(m-1) + 1(m-2) = 2 - 3m + 3 + m - 2 = 3 - 2m\)
Để định thức khác 0, ta có:
\(3 - 2m \ne 0 \Rightarrow 2m \ne 3 \Rightarrow m \ne \frac{3}{2}\)
Vậy, \(m \ne \frac{3}{2}\).

Câu 44:

Cho M = {x, y, z, t} là tập sinh của không gian vecto V, biết {x, y, z} là họ độc lập tuyến tính cực đại của M. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Vì M = {x, y, z, t} là tập sinh của không gian vector V, và {x, y, z} là họ độc lập tuyến tính cực đại của M, điều này có nghĩa là mọi vector trong V đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của {x, y, z}. Đặc biệt, vector t cũng phải biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của {x, y, z}.

Phương án 1 đúng vì t là tổ hợp tuyến tính của {x, y, z}.

Phương án 2 sai vì Dim(V) = 3 (do {x, y, z} là cơ sở của V).

Phương án 3 sai vì nếu {x, y, t} độc lập tuyến tính thì {x, y, z} không phải là họ độc lập tuyến tính cực đại của M.

Phương án 4 sai vì có một câu đúng (câu 1).

Câu 45:

Trong không gian vecto R³cho các ba vecto \( x_1 = ( 2, 1 , −1 ), x_2 = ( 3,2, 1 ), x_3 = ( 3, m, 1 )\). Với giá trị nào của m thì x₃ là tổ hợp tuyến tính của x₁ và x₂?

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 46:

Tìm tất cả giá trị thực m để \(M = {( m, 1 , 1 ) , ( 1 , m,1 ) , ( 1 ,1 , m) }\) không sinh ra R³?

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 47:

Cho \(E = {( 1 , 1 ,1 ) ; ( 1 , 0, 1 ) }\) là cơ sở của không gian vecto thực V. Tìm tọa độ của vecto \(x = ( 1 , 4, 1 )\) trong cơ sở E.

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 48:

Trong không gian vecto V cho cơ sở \(E = {e_1, e_2, e_3}\). Tìm tọa độ vecto \(x = 3e_3 − 4e_1 + 2e_2\) trong cơ sở E

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 49:

Trong không gian R₄ cho cơ sở \(E = {( 0, 0, 0, 1 ) , ( 0, 0, 1 , −1 ) , ( 0, 1 , −2, 1 ) , ( 1 , −3, 3, −1 ) }\). Tìm tọa độ vecto v = ( 0, 3, −4,5 ) trong cơ sở E.