Cho $E = {( 1 , 1 ,1 ) ; ( 1 , 0, 1 ) }$ là cơ sở của không gian vecto thực V. Tìm tọa độ của vecto $x = ( 1 , 4, 1 )$ trong cơ sở E.

${[x]_E} = {(4; - 3)^T}$

${[x]_E} = {(4; - 3;0)^T}$

${[x]_E} = {(1; 4;0)^T}$

3 câu kia đều sai

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Gọi tọa độ của x trong cơ sở E là (a, b). Khi đó ta có: x = a*(1, 1, 1) + b*(1, 0, 1) = (a+b, a, a+b) Do x = (1, 4, 1) nên ta có hệ phương trình: a + b = 1 a = 4 a + b = 1 Giải hệ phương trình này, ta được a = 4 và b = -3. Vậy tọa độ của x trong cơ sở E là (4, -3).

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 3

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 48:

Trong không gian vecto V cho cơ sở $E = {e_1, e_2, e_3}$. Tìm tọa độ vecto $x = 3e_3 − 4e_1 + 2e_2$ trong cơ sở E

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Vecto $x = 3e_3 − 4e_1 + 2e_2$ có thể được viết lại thành $x = -4e_1 + 2e_2 + 3e_3$. Do đó, tọa độ của vecto x trong cơ sở E là (-4, 2, 3).

Câu 49:

Trong không gian R₄ cho cơ sở $E = {( 0, 0, 0, 1 ) , ( 0, 0, 1 , −1 ) , ( 0, 1 , −2, 1 ) , ( 1 , −3, 3, −1 ) }$. Tìm tọa độ vecto v = ( 0, 3, −4,5 ) trong cơ sở E.

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta cần tìm các hệ số a, b, c, d sao cho:
(0, 3, -4, 5) = a(0, 0, 0, 1) + b(0, 0, 1, -1) + c(0, 1, -2, 1) + d(1, -3, 3, -1)
Điều này tương đương với hệ phương trình:
0 = d
3 = c - 3d
-4 = b - 2c + 3d
5 = a - b + c - d

Giải hệ phương trình này:
d = 0
c = 3 + 3d = 3
b = -4 + 2c - 3d = -4 + 2(3) = 2
a = 5 + b - c + d = 5 + 2 - 3 = 4

Vậy, (0, 3, -4, 5) = 4(0, 0, 0, 1) + 2(0, 0, 1, -1) + 3(0, 1, -2, 1) + 0(1, -3, 3, -1)
Do đó, tọa độ của vecto v trong cơ sở E là [v]_E = (4, 2, 3, 0)^T

Câu 50:

Biết tọa độ vecto p(x) trong cơ sở $\{1 , 1 − x, ( 1 − x)^2\}$ là ( 1, −1, 1). Tìm tọa độ vecto p(x) trong cơ sở $\{x^2, 2x, x + 1 \}.$

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có $p(x) = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (1-x) + 1 \cdot (1-x)^2 = 1 - 1 + x + 1 - 2x + x^2 = x^2 - x + 1.$

Đặt $p(x) = a \cdot x^2 + b \cdot 2x + c \cdot (x+1) = ax^2 + 2bx + cx + c = ax^2 + (2b+c)x + c.$

Đồng nhất hệ số, ta có:

$\begin{cases}a = 1 \\ 2b + c = -1 \\ c = 1\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a = 1 \\ b = -1 \\ c = 1\end{cases}.$

Vậy tọa độ của $p(x)$ trong cơ sở $\{x^2, 2x, x+1\}$ là $(1, -1, 1).$

Câu 1:

Cho A B, là hai ma trận vuông cấp 5. Giả sử dòng 2 của A bằng 0 và cột 3 của B bằng 0. Đặt C = AB, khi đó ta có

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Gọi $A = (a_{ij})_{5x5}$, $B = (b_{ij})_{5x5}$, $C = AB = (c_{ij})_{5x5}$.

Vì dòng 2 của A bằng 0, tức là $a_{2j} = 0$ với mọi $j = 1, 2, 3, 4, 5$.
Ta có $c_{2j} = \sum_{k=1}^{5} a_{2k}b_{kj} = \sum_{k=1}^{5} 0.b_{kj} = 0$ với mọi $j = 1, 2, 3, 4, 5$.
Vậy dòng 2 của C bằng 0.

Vì cột 3 của B bằng 0, tức là $b_{i3} = 0$ với mọi $i = 1, 2, 3, 4, 5$.
Ta có $c_{i3} = \sum_{k=1}^{5} a_{ik}b_{k3} = \sum_{k=1}^{5} a_{ik}.0 = 0$ với mọi $i = 1, 2, 3, 4, 5$.
Vậy cột 3 của C bằng 0.

Vậy dòng 2 và cột 3 của C bằng 0.

Câu 2:

Gọi V là không gian nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_5} = 0\\ 2{x_1} + 3{x_2} + 4{x_3} + 5{x_4} + 6{x_5} = 0\\ (m + 1){x_1} + 5{x_2} + 6{x_3} + 7{x_4} + 2(m + 1){x_5} = 0 \end{array} \right.$ .Tìm m để dimV lớn nhất

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm giá trị của m sao cho dimV lớn nhất, ta cần tìm giá trị của m để hạng của ma trận hệ số của hệ phương trình là nhỏ nhất. Khi hạng của ma trận hệ số nhỏ nhất, số chiều của không gian nghiệm V sẽ lớn nhất (vì dimV = số biến - hạng của ma trận hệ số).

Xét ma trận hệ số của hệ phương trình:

$\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
m+1 & 5 & 6 & 7 & 2(m+1)
\end{bmatrix}$

Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận về dạng bậc thang.

Trừ 2 lần hàng 1 từ hàng 2, và trừ (m+1) lần hàng 1 từ hàng 3, ta được:

$\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 5-(m+1) & 6-(m+1) & 7-(m+1) & 2(m+1)-(m+1)
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 4-m & 5-m & 6-m & m+1
\end{bmatrix}$

Tiếp tục, trừ (4-m) lần hàng 2 từ hàng 3, ta được:

$\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 0 & (5-m)-2(4-m) & (6-m)-3(4-m) & (m+1)-4(4-m)
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 0 & m-3 & 2m-6 & 5m-15
\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 0 & m-3 & 2(m-3) & 5(m-3)
\end{bmatrix}$

Để hạng của ma trận là nhỏ nhất, ta cần làm cho hàng cuối cùng bằng 0. Điều này xảy ra khi m = 3.
Khi m = 3, hạng của ma trận là 2. Khi m khác 3, hạng của ma trận là 3.
Vậy, để dimV lớn nhất, ta cần m = 3. Lúc này dimV = 5 - 2 = 3.
Nếu m khác 3, dimV = 5 - 3 = 2.

Câu 3:

Cho hệ phương trình tuyến tính A_mxnX = B với R(A)= m. Khi đó:

Lời giải: