Gọi V là không gian nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_5} = 0\\ 2{x_1} + 3{x_2} + 4{x_3} + 5{x_4} + 6{x_5} = 0\\ (m + 1){x_1} + 5{x_2} + 6{x_3} + 7{x_4} + 2(m + 1){x_5} = 0 \end{array} \right.\) .Tìm m để dimV lớn nhất
Trả lời:
Đáp án đúng: D
Để tìm giá trị của m sao cho dimV lớn nhất, ta cần tìm giá trị của m để hạng của ma trận hệ số của hệ phương trình là nhỏ nhất. Khi hạng của ma trận hệ số nhỏ nhất, số chiều của không gian nghiệm V sẽ lớn nhất (vì dimV = số biến - hạng của ma trận hệ số).
Xét ma trận hệ số của hệ phương trình:
\(\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
m+1 & 5 & 6 & 7 & 2(m+1)
\end{bmatrix}\)
Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận về dạng bậc thang.
Trừ 2 lần hàng 1 từ hàng 2, và trừ (m+1) lần hàng 1 từ hàng 3, ta được:
\(\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 5-(m+1) & 6-(m+1) & 7-(m+1) & 2(m+1)-(m+1)
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 4-m & 5-m & 6-m & m+1
\end{bmatrix}\)
Tiếp tục, trừ (4-m) lần hàng 2 từ hàng 3, ta được:
\(\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 0 & (5-m)-2(4-m) & (6-m)-3(4-m) & (m+1)-4(4-m)
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 0 & m-3 & 2m-6 & 5m-15
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 0 & m-3 & 2(m-3) & 5(m-3)
\end{bmatrix}\)
Để hạng của ma trận là nhỏ nhất, ta cần làm cho hàng cuối cùng bằng 0. Điều này xảy ra khi m = 3.
Khi m = 3, hạng của ma trận là 2. Khi m khác 3, hạng của ma trận là 3.
Vậy, để dimV lớn nhất, ta cần m = 3. Lúc này dimV = 5 - 2 = 3.
Nếu m khác 3, dimV = 5 - 3 = 2.
Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!
50 câu hỏi 60 phút
