Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để số \(z = {(\frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{{1 + i}})^n}\) là một số thực:

Ta có:
\(\frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{{1 + i}} = \frac{{\left( { - 1 + i\sqrt 3 } \right)\left( {1 - i} \right)}}{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)}} = \frac{{ - 1 + i + i\sqrt 3 + \sqrt 3 }}{2} = \frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right) + i\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2}\)
Đặt \(z = r\left( {cos\varphi + isin\varphi } \right)\), khi đó:
\(r = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 + 1}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{3 - 2\sqrt 3 + 1 + 3 + 2\sqrt 3 + 1}}{4}} = \sqrt {\frac{8}{4}} = \sqrt 2 \)
\(cos\varphi = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{2\sqrt 2 }};sin\varphi = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{{2\sqrt 2 }}\) suy ra \(\varphi = \frac{{5\pi }}{{12}}\)
Do đó, \(z = {(\frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{{1 + i}})^n} = {(\sqrt 2 )^n}(cos(\frac{{5n\pi }}{{12}}) + isin(\frac{{5n\pi }}{{12}}))\)
z là số thực khi và chỉ khi \(sin(\frac{{5n\pi }}{{12}}) = 0\) suy ra \(\frac{{5n\pi }}{{12}} = k\pi \) hay \(n = \frac{{12k}}{5}\) với k là số nguyên.
Để n nguyên dương nhỏ nhất thì k=5, suy ra n=12.