Cho \(z = \frac{{{{(1 + i\sqrt 3 )}^5}}}{{4 - 3i}}\). Tìm module của z.

\(\frac{{16}}{5}\)

\(\frac{{32}}{5}\)

\(\frac{{32}}{25}\)

Ba câu kia sai

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Ta có: \(1 + i\sqrt 3 = 2(\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}) = 2cis(\frac{\pi }{3})\)

Suy ra \({(1 + i\sqrt 3 )^5} = {2^5}cis(\frac{{5\pi }}{3})\)

\(4 - 3i = 5(\frac{4}{5} - i\frac{3}{5}) = 5cis(\varphi )\) với \(\varphi = arctan(-\frac{3}{4})\)

Vậy \(z = \frac{{{{(1 + i\sqrt 3 )}^5}}}{{4 - 3i}} = \frac{{{2^5}}}{5}cis(\frac{{5\pi }}{3} - \varphi )\)

Do đó \(|z| = \frac{{{2^5}}}{5} = \frac{{32}}{5}\)

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 3

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 14:

Tìm argument φ của số phức \(z = (\sqrt 3 + i)(1 - i)\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có: z = (\(\sqrt{3}\) + i)(1 - i) = \(\sqrt{3}\) - i\(\sqrt{3}\) + i - i\(^2\) = (\(\sqrt{3}\) + 1) + (1 - \(\sqrt{3}\))i. Số phức z có phần thực a = \(\sqrt{3}\) + 1 và phần ảo b = 1 - \(\sqrt{3}\). Ta có tan(\(\varphi\)) = b/a = (1 - \(\sqrt{3}\))/(1 + \(\sqrt{3}\)) = (1 - \(\sqrt{3}\))^2 / (1 - 3) = (1 - 2\(\sqrt{3}\) + 3) / (-2) = (4 - 2\(\sqrt{3}\)) / (-2) = -2 + \(\sqrt{3}\). Vì a > 0 nên \(\varphi\) thuộc góc phần tư thứ nhất hoặc thứ tư. Vì b < 0 nên \(\varphi\) thuộc góc phần tư thứ tư. Do đó, \(\varphi\) < 0. Ta có \(\varphi\) = arctan(-2 + \(\sqrt{3}\)) = -\(\frac{\pi}{12}\). Vậy argument của số phức z là -\(\frac{\pi}{12}\).

Câu 15:

Tập hợp tất cả các số phức z, thỏa \(\left| {z + 2i} \right| + \left| {z - 2i} \right| = 9\) trong mặt phẳng phức là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Gọi z = x + yi, với x, y thuộc R. Khi đó |z + 2i| = |x + (y+2)i| và |z - 2i| = |x + (y-2)i|.

Theo đề bài, ta có |z + 2i| + |z - 2i| = 9, tương đương với \(\sqrt{x^2 + (y+2)^2} + \sqrt{x^2 + (y-2)^2} = 9\).

Đây chính là phương trình của một elip, với hai tiêu điểm là (0, -2) và (0, 2). Tổng khoảng cách từ một điểm trên elip đến hai tiêu điểm là một hằng số (trong trường hợp này là 9).
Vậy tập hợp các điểm z thỏa mãn điều kiện đã cho là một elip.

Câu 16:

Tìm \(\sqrt { - i}\) trong trường số phức

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Gọi z = a + bi, ta có z^2 = -i. Suy ra (a + bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 = -i. Từ đó suy ra hệ phương trình:
a^2 - b^2 = 0
2ab = -1
Từ phương trình đầu, ta có a = b hoặc a = -b. Vì 2ab = -1 < 0 nên a và b trái dấu, suy ra a = -b. Thay vào phương trình thứ hai, ta có -2b^2 = -1, suy ra b^2 = 1/2, hay b = \(\pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\). Do a = -b, ta có hai nghiệm:
z1 = \(\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}i\) = cos(-pi/4) + isin(-pi/4) = e^(-i*pi/4)
z2 = \(-\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}i\) = cos(3pi/4) + isin(3pi/4) = e^(3i*pi/4)
Vậy đáp án đúng là z1 = e^(-i*pi/4) và z2 = e^(3i*pi/4).

Câu 17:

Với giá trị nào của k thì hạng của ma trận A lớn hơn hoặc bằng 4:

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0&{k + 5}\\ 2&3&0&0&4\\ 4&{ - 2}&5&0&6\\ 2&1&7&{ - 1}&8\\ { - 1}&{k + 1}&4&2&{k + 5} \end{array}} \right]\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Hạng của ma trận A lớn hơn hoặc bằng 4 khi có ít nhất 4 hàng (hoặc cột) độc lập tuyến tính. Ta thấy rằng 4 cột đầu tiên của ma trận A độc lập tuyến tính với mọi giá trị của k (vì chúng tạo thành một ma trận tam giác dưới với các phần tử trên đường chéo khác 0). Do đó, hạng của A ít nhất là 4, không phụ thuộc vào giá trị của k.

Câu 18:

Cho \(f(x) = 3{x^2} - 2x;A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&{ - 1} \end{array}} \right]\). Tính f(A).

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có: \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\3&{ - 1}\end{array}} \right]\)

\(A^2 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\3&{ - 1}\end{array}} \right] * \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\3&{ - 1}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}7&0\\0&7\end{array}} \right] = 7I\)

\(f(A) = 3A^2 - 2A = 3*7I - 2A = 21I - 2A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}21&0\\0&21\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&4\\6&{-2}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}19&{-4}\\-6&23\end{array}} \right]\)

Câu 19:

Tìm m để hạng của ma trận phụ hợp P_A bằng 4.

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&{ - 1}\\ 3&2&1&0\\ 5&6&{ - 1}&2\\ 6&3&0&m \end{array}} \right]\)

Lời giải: