Tìm argument φ của số phức \(z = (\sqrt 3 + i)(1 - i)\)

\(\varphi = \frac{{7\pi }}{{12}}\)

\(\varphi = \frac{{-\pi }}{{12}}\)

\(\varphi = \frac{{\pi }}{{4}}\)

\(\varphi = \frac{{5\pi }}{{12}}\)

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Ta có: z = (\(\sqrt{3}\) + i)(1 - i) = \(\sqrt{3}\) - i\(\sqrt{3}\) + i - i\(^2\) = (\(\sqrt{3}\) + 1) + (1 - \(\sqrt{3}\))i. Số phức z có phần thực a = \(\sqrt{3}\) + 1 và phần ảo b = 1 - \(\sqrt{3}\). Ta có tan(\(\varphi\)) = b/a = (1 - \(\sqrt{3}\))/(1 + \(\sqrt{3}\)) = (1 - \(\sqrt{3}\))^2 / (1 - 3) = (1 - 2\(\sqrt{3}\) + 3) / (-2) = (4 - 2\(\sqrt{3}\)) / (-2) = -2 + \(\sqrt{3}\). Vì a > 0 nên \(\varphi\) thuộc góc phần tư thứ nhất hoặc thứ tư. Vì b < 0 nên \(\varphi\) thuộc góc phần tư thứ tư. Do đó, \(\varphi\) < 0. Ta có \(\varphi\) = arctan(-2 + \(\sqrt{3}\)) = -\(\frac{\pi}{12}\). Vậy argument của số phức z là -\(\frac{\pi}{12}\).

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 3

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 15:

Tập hợp tất cả các số phức z, thỏa \(\left| {z + 2i} \right| + \left| {z - 2i} \right| = 9\) trong mặt phẳng phức là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Gọi z = x + yi, với x, y thuộc R. Khi đó |z + 2i| = |x + (y+2)i| và |z - 2i| = |x + (y-2)i|.

Theo đề bài, ta có |z + 2i| + |z - 2i| = 9, tương đương với \(\sqrt{x^2 + (y+2)^2} + \sqrt{x^2 + (y-2)^2} = 9\).

Đây chính là phương trình của một elip, với hai tiêu điểm là (0, -2) và (0, 2). Tổng khoảng cách từ một điểm trên elip đến hai tiêu điểm là một hằng số (trong trường hợp này là 9).
Vậy tập hợp các điểm z thỏa mãn điều kiện đã cho là một elip.

Câu 16:

Tìm \(\sqrt { - i}\) trong trường số phức

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Gọi z = a + bi, ta có z^2 = -i. Suy ra (a + bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 = -i. Từ đó suy ra hệ phương trình:
a^2 - b^2 = 0
2ab = -1
Từ phương trình đầu, ta có a = b hoặc a = -b. Vì 2ab = -1 < 0 nên a và b trái dấu, suy ra a = -b. Thay vào phương trình thứ hai, ta có -2b^2 = -1, suy ra b^2 = 1/2, hay b = \(\pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\). Do a = -b, ta có hai nghiệm:
z1 = \(\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}i\) = cos(-pi/4) + isin(-pi/4) = e^(-i*pi/4)
z2 = \(-\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}i\) = cos(3pi/4) + isin(3pi/4) = e^(3i*pi/4)
Vậy đáp án đúng là z1 = e^(-i*pi/4) và z2 = e^(3i*pi/4).

Câu 17:

Với giá trị nào của k thì hạng của ma trận A lớn hơn hoặc bằng 4:

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0&{k + 5}\\ 2&3&0&0&4\\ 4&{ - 2}&5&0&6\\ 2&1&7&{ - 1}&8\\ { - 1}&{k + 1}&4&2&{k + 5} \end{array}} \right]\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Hạng của ma trận A lớn hơn hoặc bằng 4 khi có ít nhất 4 hàng (hoặc cột) độc lập tuyến tính. Ta thấy rằng 4 cột đầu tiên của ma trận A độc lập tuyến tính với mọi giá trị của k (vì chúng tạo thành một ma trận tam giác dưới với các phần tử trên đường chéo khác 0). Do đó, hạng của A ít nhất là 4, không phụ thuộc vào giá trị của k.

Câu 18:

Cho \(f(x) = 3{x^2} - 2x;A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&{ - 1} \end{array}} \right]\). Tính f(A).

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có: \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\3&{ - 1}\end{array}} \right]\)

\(A^2 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\3&{ - 1}\end{array}} \right] * \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\3&{ - 1}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}7&0\\0&7\end{array}} \right] = 7I\)

\(f(A) = 3A^2 - 2A = 3*7I - 2A = 21I - 2A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}21&0\\0&21\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&4\\6&{-2}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}19&{-4}\\-6&23\end{array}} \right]\)

Câu 19:

Tìm m để hạng của ma trận phụ hợp P_A bằng 4.

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&{ - 1}\\ 3&2&1&0\\ 5&6&{ - 1}&2\\ 6&3&0&m \end{array}} \right]\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để hạng của ma trận phụ hợp P_A bằng 4, ta cần det(A) phải khác 0. Tính định thức của A:

\(\begin{aligned}
det(A) &= \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&{ - 1}\\
3&2&1&0\\
5&6&{ - 1}&2\\
6&3&0&m
\end{array}} \right|\\
&= \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&{ - 1}\\
3&2&1&0\\
5&6&{ - 1}&2\\
6&3&0&m
\end{array}} \right|\\
&\xrightarrow[{{\mathop {C_4 \to C_4 + C_1} }}{}]{{\mathop {C_3 \to C_3 + C_1} }}{}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&0\\
3&2&1&3\\
5&6&{ - 1}&7\\
6&3&0&{m + 6}
\end{array}} \right|\\
&\xrightarrow[{{\mathop {C_3 \to C_3 - C_2} }}{}]{{\mathop {C_1 \to C_1 - C_2} }}{}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1&0&0\\
1&2&{ - 1}&3\\
{ - 1}&6&{ - 7}&7\\
3&3&{ - 3}&{m + 6}
\end{array}} \right|\\
&= - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&3\\
{ - 1}&{ - 7}&7\\
3&{ - 3}&{m + 6}
\end{array}} \right|\\
&= - \left[ {1\left( { - 7\left( {m + 6} \right) - 7\left( 3 \right)} \right) + 1\left( { - 1\left( {m + 6} \right) - 3\left( 7 \right)} \right) + 3\left( { - 1\left( { - 3} \right) - \left( { - 7} \right)3} \right)} \right] \\
&= - \left[ { - 7m - 42 - 21 - m - 6 - 21 + 3\left( {3 + 21} \right)} \right] \\
&= - \left[ { - 8m - 90 + 72} \right] \\
&= 8m + 18
\end{aligned}\)

Để det(A) khác 0, ta có: 8m + 18 ≠ 0 => m ≠ -18/8 = -9/4. Tuy nhiên, vì không có đáp án nào trùng với kết quả này, chúng ta cần kiểm tra lại các bước tính toán.

Tuy nhiên, theo lý thuyết, hạng của ma trận phụ hợp bằng n (ở đây n=4) khi hạng của A bằng n, tức là det(A) != 0. hạng của ma trận phụ hợp bằng 1 khi hạng của A nhỏ hơn n-1 và bằng 0 khi hạng của A = n-1.
Trong trường hợp này, đề bài yêu cầu hạng của ma trận phụ hợp bằng 4, điều này xảy ra khi det(A) != 0.
Các đáp án đưa ra đều có dạng m != hằng số, nên ta cần tìm giá trị m sao cho det(A) = 0 để loại trừ.
Từ phân tích ban đầu, ta có det(A) = 8m + 18. Giải phương trình 8m + 18 = 0, ta được m = -9/4. Vì không có đáp án nào phù hợp với m != -9/4, ta cần xem xét lại đề bài và các đáp án.
Đề bài có thể bị sai sót ở đâu đó, hoặc các đáp án không chính xác. Trong trường hợp này, không có đáp án nào đúng dựa trên phân tích trên.

Câu 20:

Tính hạng của ma trận: \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&2&4&6&5\\ 2&1&3&5&4\\ 4&5&3&6&7\\ 4&5&3&7&8 \end{array}} \right]\)

Lời giải: