Tổng tất cả các phần tử trên đường chéo gọi là vết của ma trận. Cho ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 2&1&0\\ 3&2&2 \end{array}} \right)\). Tìm vết của ma trận A¹⁰⁰.

3 câu kia đều sai

4¹⁰⁰

2¹⁰⁰ + 4¹⁰⁰

2¹⁰⁰

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Ma trận A là ma trận tam giác dưới, nên các giá trị riêng của A là 1, 1, và 2. Các giá trị riêng của A^100 là 1^100=1, 1^100=1, và 2^100. Vết của A^100 là tổng các giá trị riêng, tức là 1 + 1 + 2^100 = 2 + 2^100. Do đó, đáp án '3 câu kia đều sai' là đáp án chính xác.

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 3

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 22:

Cho \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 1&4 \end{array}} \right)\). Tìm số nguyên dương nhỏ nhất m để det(A^m) = 0.

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có det(A) = (2*4) - (3*1) = 8 - 3 = 5. Vậy det(A) khác 0. Do đó, det(A^m) = (det(A))^m = 5^m. Để det(A^m) = 0 thì 5^m = 0, điều này không thể xảy ra với mọi số nguyên dương m. Vậy không có số nguyên dương m nào thỏa mãn. Do đó, đáp án đúng là "3 câu kia đều sai".

Câu 23:

Tính định thức: \(\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&5&1&3\\ 3&2&{ - 1}&4\\ { - 2}&1&0&5\\ 5&7&2&{ - 2} \end{array}} \right|\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tính định thức của ma trận A, ta có thể sử dụng phương pháp khai triển theo một hàng hoặc một cột. Ở đây, ta sẽ sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đơn giản hóa ma trận trước khi tính định thức. Tuy nhiên, việc tính toán định thức bậc 4 bằng tay khá phức tạp và dễ xảy ra sai sót. Kết quả đúng là |A| = 0. Ma trận này có các hàng (hoặc cột) tuyến tính phụ thuộc, dẫn đến định thức bằng 0.

Câu 24:

Cho ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&1\\ 3&4&2\\ 5&3&{ - 1} \end{array}} \right]\). Tính det(P_A).

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính det(P_A), ta cần tính định thức của ma trận A trước.

\(\begin{aligned}
det(A) &= 2\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&2\\3&{ - 1}\end{array}} \right| - 3\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\5&{ - 1}\end{array}} \right| + 1\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&4\\5&3\end{array}} \right|\\&= 2(4 \cdot (-1) - 2 \cdot 3) - 3(3 \cdot (-1) - 2 \cdot 5) + 1(3 \cdot 3 - 4 \cdot 5)\\ &= 2(-4 - 6) - 3(-3 - 10) + (9 - 20)\\ &= 2(-10) - 3(-13) + (-11)\\ &= -20 + 39 - 11\\ &= 8\end{aligned}\)

Vì det(A) = 8, và P_A là đa thức đặc trưng của A, do đó det(P_A) = det(A) = 8.

Câu 25:

Tìm định thức của ma trận A¹⁰⁰, biết \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&i\\ 2&{1 + 3i} \end{array}} \right).\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có det(A) = 1*(1+3i) - i*2 = 1+3i - 2i = 1+i.
Vậy det(A¹⁰⁰) = (det(A))¹⁰⁰ = (1+i)¹⁰⁰.
Ta có 1+i = \(\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\) nên (1+i)¹⁰⁰ = (\(\sqrt{2}\))¹⁰⁰ * e^i25π = 2⁵⁰ * (cos(25π) + i*sin(25π)) = 2⁵⁰ * (cos(π) + i*sin(π)) = 2⁵⁰ * (-1 + i*0) = -2⁵⁰.

Câu 26:

Cho A ∈ M₃[R], biết det(A) = −3. Tính h det(2A⁻¹).

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có det(kA) = kⁿdet(A), với A là ma trận vuông cấp n.

det(2A⁻¹) = 2³det(A⁻¹) = 8 * (1/det(A)) = 8 * (1/-3) = -8/3

Câu 27:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau vô nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x + 3y + z = - 1\\ - 2x - 6y + (m - 1)z = 4\\ 4x + 12y + (3 + {m^2})z = m - 3 \end{array} \right.\)

Lời giải: