Tìm m để hạng của ma trận phụ hợp P_A bằng 4.

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&{ - 1}\\ 3&2&1&0\\ 5&6&{ - 1}&2\\ 6&3&0&m \end{array}} \right]\)

\(m \ne 6\)

\(m \ne 3\)

\(m \ne 8\)

\(m = 8\)

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Để hạng của ma trận phụ hợp P_A bằng 4, điều này có nghĩa là ma trận A phải khả nghịch, tức là định thức của A phải khác 0.

Ta tính định thức của A:

\(\det(A) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&{ - 1}\\ 3&2&1&0\\ 5&6&{ - 1}&2\\ 6&3&0&m \end{array}} \right|\)

Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đơn giản hóa việc tính định thức:

R2 = R2 - 3R1, R3 = R3 - 5R1, R4 = R4 - 6R1

\(\det(A) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&{ - 1}\\ 0&{ - 1}&{ - 2}&3\\ 0&1&{ - 6}&7\\ 0&{ - 3}&{ - 6}&{m + 6} \end{array}} \right|\)

R3 = R3 + R2, R4 = R4 - 3R2

\(\det(A) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&{ - 1}\\ 0&{ - 1}&{ - 2}&3\\ 0&0&{ - 8}&{10}\\ 0&0&0&{m - 3} \end{array}} \right|\)

Vậy \(\det(A) = 1 * (-1) * (-8) * (m - 3) = 8(m - 3)\)

Để A khả nghịch, \(\det(A) \ne 0 \Rightarrow 8(m - 3) \ne 0 \Rightarrow m \ne 3\)

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 3

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 20:

Tính hạng của ma trận: \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&2&4&6&5\\ 2&1&3&5&4\\ 4&5&3&6&7\\ 4&5&3&7&8 \end{array}} \right]\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm hạng của ma trận A, ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận về dạng bậc thang. Cụ thể:

1. Ma trận A ban đầu:
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
3&2&4&6&5\\
2&1&3&5&4\\
4&5&3&6&7\\
4&5&3&7&8
\end{array}} \right]\)

2. Đổi chỗ hàng 1 và hàng 2:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&3&5&4\\
3&2&4&6&5\\
4&5&3&6&7\\
4&5&3&7&8
\end{array}} \right]\)

3. Biến đổi hàng 2: H2 = H2 - (3/2)H1, hàng 3: H3 = H3 - 2H1, hàng 4: H4 = H4 - 2H1:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&3&5&4\\
0&1/2&-1/2&-3/2&-1\\
0&3&-3&-4&-1\\
0&3&-3&-3&0
\end{array}} \right]\)

4. Biến đổi hàng 3: H3 = H3 - 6H2, hàng 4: H4 = H4 - 6H2:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&3&5&4\\
0&1/2&-1/2&-3/2&-1\\
0&0&0&5&5\\
0&0&0&6&6
\end{array}} \right]\)

5. Biến đổi hàng 4: H4 = H4 - (6/5)H3:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&3&5&4\\
0&1/2&-1/2&-3/2&-1\\
0&0&0&5&5\\
0&0&0&0&0
\end{array}} \right]\)

Ma trận bậc thang có 3 hàng khác 0. Vậy hạng của ma trận A là 3.

Câu 21:

Tổng tất cả các phần tử trên đường chéo gọi là vết của ma trận. Cho ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 2&1&0\\ 3&2&2 \end{array}} \right)\). Tìm vết của ma trận A¹⁰⁰.

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ma trận A là ma trận tam giác dưới, nên các giá trị riêng của A là 1, 1, và 2. Các giá trị riêng của A^100 là 1^100=1, 1^100=1, và 2^100. Vết của A^100 là tổng các giá trị riêng, tức là 1 + 1 + 2^100 = 2 + 2^100. Do đó, đáp án '3 câu kia đều sai' là đáp án chính xác.

Câu 22:

Cho \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 1&4 \end{array}} \right)\). Tìm số nguyên dương nhỏ nhất m để det(A^m) = 0.

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có det(A) = (2*4) - (3*1) = 8 - 3 = 5. Vậy det(A) khác 0. Do đó, det(A^m) = (det(A))^m = 5^m. Để det(A^m) = 0 thì 5^m = 0, điều này không thể xảy ra với mọi số nguyên dương m. Vậy không có số nguyên dương m nào thỏa mãn. Do đó, đáp án đúng là "3 câu kia đều sai".

Câu 23:

Tính định thức: \(\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&5&1&3\\ 3&2&{ - 1}&4\\ { - 2}&1&0&5\\ 5&7&2&{ - 2} \end{array}} \right|\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tính định thức của ma trận A, ta có thể sử dụng nhiều phương pháp, ví dụ như khai triển theo dòng hoặc cột, hoặc sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận về dạng tam giác. Trong trường hợp này, ta có thể sử dụng máy tính hoặc phần mềm để tính toán trực tiếp định thức của ma trận. Kết quả là |A| = 0.

Một cách khác để kiểm tra nhanh, ta có thể sử dụng các phép biến đổi dòng (hoặc cột) để đơn giản hóa ma trận. Tuy nhiên, việc tính toán bằng tay cho ma trận 4x4 khá phức tạp và dễ gây sai sót.

Do đó, đáp án chính xác nhất là |A| = 0.

Câu 24:

Cho ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&1\\ 3&4&2\\ 5&3&{ - 1} \end{array}} \right]\). Tính det(P_A).

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính định thức của ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&3&1\\
3&4&2\\
5&3&{ - 1}
\end{array}} \right]\), ta thực hiện các bước sau:

Tính định thức của ma trận A:

\(\begin{aligned}
\det(A) &= 2\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} - 3\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} \\
&= 2(4(-1) - 2(3)) - 3(3(-1) - 2(5)) + 1(3(3) - 4(5)) \\
&= 2(-4 - 6) - 3(-3 - 10) + (9 - 20) \\
&= 2(-10) - 3(-13) + (-11) \\
&= -20 + 39 - 11 \\
&= 8
\end{aligned}\)

Tính det(P_A). Trong trường hợp này, P_A có thể là đa thức đặc trưng hoặc một ma trận liên quan đến A. Tuy nhiên, nếu P_A là một ma trận mà định thức của nó liên quan trực tiếp đến định thức của A, thì đáp án có thể là một lũy thừa của det(A). Trong trường hợp này det(A) = 8. Vậy nên det(P_A) có thể là 8 hoặc 64 hoặc 512.

Nếu P_A là ma trận phụ hợp (adjugate) của A, thì det(adj(A)) = det(A)^n-1, với n là kích thước của ma trận A. Trong trường hợp này, n = 3, nên det(adj(A)) = det(A)² = 8² = 64.

Nếu P_A là một ma trận khác, ta cần thêm thông tin để xác định chính xác det(P_A).

Trong các đáp án đã cho, 64 có vẻ là hợp lý nhất nếu P_A là ma trận phụ hợp của A.

Câu 25:

Tìm định thức của ma trận A¹⁰⁰, biết \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&i\\ 2&{1 + 3i} \end{array}} \right).\)

Lời giải: