Tính \(z = \frac{{1 + 3i}}{{2 - i}}\)

\(z = \frac{-1}{5} + \frac{{7i}}{5}\)

\(1+i\)

\(z = \frac{1}{5} - \frac{{7i}}{5}\)

\(1-i\)

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Để tính \(z = \frac{{1 + 3i}}{{2 - i}}\), ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu số, tức là \(2+i\): \(z = \frac{{1 + 3i}}{{2 - i}} \cdot \frac{{2 + i}}{{2 + i}} = \frac{{(1 + 3i)(2 + i)}}{{(2 - i)(2 + i)}} = \frac{{2 + i + 6i + 3i^2}}{{4 - i^2}} = \frac{{2 + 7i - 3}}{{4 + 1}} = \frac{{-1 + 7i}}{5} = \frac{{-1}}{5} + \frac{{7i}}{5}\) Vậy, \(z = \frac{-1}{5} + \frac{{7i}}{5}\).

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 3

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 13:

Cho \(z = \frac{{{{(1 + i\sqrt 3 )}^5}}}{{4 - 3i}}\). Tìm module của z.

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Câu 14:

Tìm argument φ của số phức \(z = (\sqrt 3 + i)(1 - i)\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có: z = (\(\sqrt{3}\) + i)(1 - i) = \(\sqrt{3}\) - i\(\sqrt{3}\) + i - i\(^2\) = (\(\sqrt{3}\) + 1) + (1 - \(\sqrt{3}\))i.
Số phức z có phần thực a = \(\sqrt{3}\) + 1 và phần ảo b = 1 - \(\sqrt{3}\).
Ta có tan(\(\varphi\)) = b/a = (1 - \(\sqrt{3}\))/(1 + \(\sqrt{3}\)) = (1 - \(\sqrt{3}\))^2 / (1 - 3) = (1 - 2\(\sqrt{3}\) + 3) / (-2) = (4 - 2\(\sqrt{3}\)) / (-2) = -2 + \(\sqrt{3}\).
Vì a > 0 nên \(\varphi\) thuộc góc phần tư thứ nhất hoặc thứ tư. Vì b < 0 nên \(\varphi\) thuộc góc phần tư thứ tư. Do đó, \(\varphi\) < 0.
Ta có \(\varphi\) = arctan(-2 + \(\sqrt{3}\)) = -\(\frac{\pi}{12}\).
Vậy argument của số phức z là -\(\frac{\pi}{12}\).

Câu 15:

Tập hợp tất cả các số phức z, thỏa \(\left| {z + 2i} \right| + \left| {z - 2i} \right| = 9\) trong mặt phẳng phức là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Gọi z = x + yi, với x, y thuộc R. Khi đó |z + 2i| = |x + (y+2)i| và |z - 2i| = |x + (y-2)i|.

Theo đề bài, ta có |z + 2i| + |z - 2i| = 9, tương đương với \(\sqrt{x^2 + (y+2)^2} + \sqrt{x^2 + (y-2)^2} = 9\).

Đây chính là phương trình của một elip, với hai tiêu điểm là (0, -2) và (0, 2). Tổng khoảng cách từ một điểm trên elip đến hai tiêu điểm là một hằng số (trong trường hợp này là 9).
Vậy tập hợp các điểm z thỏa mãn điều kiện đã cho là một elip.

Câu 16:

Tìm \(\sqrt { - i}\) trong trường số phức

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Gọi z = a + bi, ta có z^2 = -i. Suy ra (a + bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 = -i. Từ đó suy ra hệ phương trình:
a^2 - b^2 = 0
2ab = -1
Từ phương trình đầu, ta có a = b hoặc a = -b. Vì 2ab = -1 < 0 nên a và b trái dấu, suy ra a = -b. Thay vào phương trình thứ hai, ta có -2b^2 = -1, suy ra b^2 = 1/2, hay b = \(\pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\). Do a = -b, ta có hai nghiệm:
z1 = \(\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}i\) = cos(-pi/4) + isin(-pi/4) = e^(-i*pi/4)
z2 = \(-\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}i\) = cos(3pi/4) + isin(3pi/4) = e^(3i*pi/4)
Vậy đáp án đúng là z1 = e^(-i*pi/4) và z2 = e^(3i*pi/4).

Câu 17:

Với giá trị nào của k thì hạng của ma trận A lớn hơn hoặc bằng 4:

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0&{k + 5}\\ 2&3&0&0&4\\ 4&{ - 2}&5&0&6\\ 2&1&7&{ - 1}&8\\ { - 1}&{k + 1}&4&2&{k + 5} \end{array}} \right]\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Hạng của ma trận A lớn hơn hoặc bằng 4 khi có ít nhất 4 hàng (hoặc cột) độc lập tuyến tính. Ta thấy rằng 4 cột đầu tiên của ma trận A độc lập tuyến tính với mọi giá trị của k (vì chúng tạo thành một ma trận tam giác dưới với các phần tử trên đường chéo khác 0). Do đó, hạng của A ít nhất là 4, không phụ thuộc vào giá trị của k.

Câu 18:

Cho \(f(x) = 3{x^2} - 2x;A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&{ - 1} \end{array}} \right]\). Tính f(A).

Lời giải: