Cho A B, là hai ma trận vuông cấp 5. Giả sử dòng 2 của A bằng 0 và cột 3 của B bằng 0. Đặt C = AB, khi đó ta có

Để tìm giá trị của m sao cho dimV lớn nhất, ta cần tìm giá trị của m để hạng của ma trận hệ số của hệ phương trình là nhỏ nhất. Khi hạng của ma trận hệ số nhỏ nhất, số chiều của không gian nghiệm V sẽ lớn nhất (vì dimV = số biến - hạng của ma trận hệ số).

Xét ma trận hệ số của hệ phương trình:

\(\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
m+1 & 5 & 6 & 7 & 2(m+1)
\end{bmatrix}\)

Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận về dạng bậc thang.

Trừ 2 lần hàng 1 từ hàng 2, và trừ (m+1) lần hàng 1 từ hàng 3, ta được:

\(\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 5-(m+1) & 6-(m+1) & 7-(m+1) & 2(m+1)-(m+1)
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 4-m & 5-m & 6-m & m+1
\end{bmatrix}\)

Tiếp tục, trừ (4-m) lần hàng 2 từ hàng 3, ta được:

\(\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 0 & (5-m)-2(4-m) & (6-m)-3(4-m) & (m+1)-4(4-m)
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 0 & m-3 & 2m-6 & 5m-15
\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 0 & m-3 & 2(m-3) & 5(m-3)
\end{bmatrix}\)

Để hạng của ma trận là nhỏ nhất, ta cần làm cho hàng cuối cùng bằng 0. Điều này xảy ra khi m = 3.
Khi m = 3, hạng của ma trận là 2. Khi m khác 3, hạng của ma trận là 3.
Vậy, để dimV lớn nhất, ta cần m = 3. Lúc này dimV = 5 - 2 = 3.
Nếu m khác 3, dimV = 5 - 3 = 2.

Hệ phương trình tuyến tính AX = B có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận mở rộng \(\overline A = (A | B)\), tức là R(A) = R(\(\overline A \)). Vì A là ma trận m x n với m > n, nên hạng của A tối đa là n. Nếu R(A) < R(\(\overline A \)), hệ vô nghiệm. Nếu R(A) = R(\(\overline A \)), hệ có nghiệm. Nghiệm của hệ không phải là không gian con của R^n (nó là không gian con khi B = 0). Phương án R(A) >= R(\(\overline A \)) không đúng vì hạng của ma trận mở rộng không thể nhỏ hơn hạng của ma trận A. Vì vậy, các câu kia đều sai.

Ta có:
\(\frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{{1 + i}} = \frac{{\left( { - 1 + i\sqrt 3 } \right)\left( {1 - i} \right)}}{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)}} = \frac{{ - 1 + i + i\sqrt 3 + \sqrt 3 }}{2} = \frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right) + i\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2}\)
Đặt \(z = r\left( {cos\varphi + isin\varphi } \right)\), khi đó:
\(r = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 + 1}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{3 - 2\sqrt 3 + 1 + 3 + 2\sqrt 3 + 1}}{4}} = \sqrt {\frac{8}{4}} = \sqrt 2 \)
\(cos\varphi = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{2\sqrt 2 }};sin\varphi = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{{2\sqrt 2 }}\) suy ra \(\varphi = \frac{{5\pi }}{{12}}\)
Do đó, \(z = {(\frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{{1 + i}})^n} = {(\sqrt 2 )^n}(cos(\frac{{5n\pi }}{{12}}) + isin(\frac{{5n\pi }}{{12}}))\)
z là số thực khi và chỉ khi \(sin(\frac{{5n\pi }}{{12}}) = 0\) suy ra \(\frac{{5n\pi }}{{12}} = k\pi \) hay \(n = \frac{{12k}}{5}\) với k là số nguyên.
Để n nguyên dương nhỏ nhất thì k=5, suy ra n=12.