Trong không gian vecto V cho cơ sở \(E = {e_1, e_2, e_3}\). Tìm tọa độ vecto \(x = 3e_3 − 4e_1 + 2e_2\) trong cơ sở E

Ta có \(p(x) = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (1-x) + 1 \cdot (1-x)^2 = 1 - 1 + x + 1 - 2x + x^2 = x^2 - x + 1.\)

Đặt \(p(x) = a \cdot x^2 + b \cdot 2x + c \cdot (x+1) = ax^2 + 2bx + cx + c = ax^2 + (2b+c)x + c.\)

Đồng nhất hệ số, ta có:

\(\begin{cases}a = 1 \\ 2b + c = -1 \\ c = 1\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a = 1 \\ b = -1 \\ c = 1\end{cases}.\)

Vậy tọa độ của \(p(x)\) trong cơ sở \(\{x^2, 2x, x+1\}\) là \((1, -1, 1).\)

Ta có hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Để dimV lớn nhất thì hạng của ma trận hệ số phải nhỏ nhất.

Ma trận hệ số của hệ là:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1&1\\
2&3&4&5&6\\
m + 1&5&6&7&{2(m + 1)}
\end{array}} \right]\)

Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên dòng:

+ ) \({R_2} - 2{R_1} \to {R_2}\)

+ ) \({R_3} - (m + 1){R_1} \to {R_3}\)

Ta được:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1&1\\
0&1&2&3&4\\
0&{4 - m}&{5 - m}&{6 - m}&{m + 1}
\end{array}} \right]\)

Tiếp tục biến đổi: \({R_3} - (4 - m){R_2} \to {R_3}\)

Ta được:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1&1\\
0&1&2&3&4\\
0&0&{ - 3 + m}&{ - 6 + 2m}&{ - 15 + 5m}
\end{array}} \right]\)

Để hạng của ma trận nhỏ nhất thì \( - 3 + m = 0 \Leftrightarrow m = 3\)

Vậy m = 3 thì dimV lớn nhất.

Xét hệ phương trình tuyến tính A_mxn X = B với R(A)= m. Điều này có nghĩa là hạng của ma trận A bằng số hàng của nó. Vì vậy, mọi vector B đều có thể biểu diễn tuyến tính qua các cột của A. Hay nói cách khác, hệ phương trình luôn có nghiệm.

Khi đó, ta có 2 trường hợp:

• Nếu m = n: R(A) = n, hệ có nghiệm duy nhất.


• Nếu m < n: hệ có vô số nghiệm.

Vậy, trong các phương án, đáp án chính xác nhất là "Hệ có nghiệm".