Trong không gian vecto R³cho các ba vecto \( x_1 = ( 2, 1 , −1 ), x_2 = ( 3,2, 1 ), x_3 = ( 3, m, 1 )\). Với giá trị nào của m thì x₃ là tổ hợp tuyến tính của x₁ và x₂?

m = 2.

m = 3.

\(m \ne 1\)

m = −2

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Để x3 là tổ hợp tuyến tính của x1 và x2, ta cần tìm các số thực a, b sao cho x3 = a*x1 + b*x2. Tức là (3, m, 1) = a(2, 1, -1) + b(3, 2, 1) = (2a + 3b, a + 2b, -a + b) Điều này dẫn đến hệ phương trình: 1) 2a + 3b = 3 2) a + 2b = m 3) -a + b = 1 Từ phương trình (3), ta có a = b - 1. Thay vào phương trình (1), ta được: 2(b - 1) + 3b = 3 2b - 2 + 3b = 3 5b = 5 b = 1 Suy ra a = b - 1 = 1 - 1 = 0. Thay a = 0 và b = 1 vào phương trình (2), ta được: 0 + 2(1) = m m = 2 Vậy, với m = 2 thì x3 là tổ hợp tuyến tính của x1 và x2.

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 3

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 46:

Tìm tất cả giá trị thực m để \(M = {( m, 1 , 1 ) , ( 1 , m,1 ) , ( 1 ,1 , m) }\) không sinh ra R³?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để M không sinh ra R^3, thì các vector trong M phải tuyến tính phụ thuộc. Điều này có nghĩa là định thức của ma trận tạo bởi các vector này phải bằng 0.

Xét ma trận:

| m 1 1 |
| 1 m 1 |
| 1 1 m |

Tính định thức:

det = m(m^2 - 1) - 1(m - 1) + 1(1 - m)
= m^3 - m - m + 1 + 1 - m
= m^3 - 3m + 2

Ta cần giải phương trình m^3 - 3m + 2 = 0

Nhận thấy m = 1 là một nghiệm, vì 1 - 3 + 2 = 0.

Khi đó, m^3 - 3m + 2 = (m - 1)(m^2 + m - 2) = (m - 1)(m - 1)(m + 2) = (m - 1)^2 (m + 2)

Vậy, phương trình có nghiệm m = 1 (nghiệm kép) và m = -2.

Vậy, m = 1 và m = -2 thì M không sinh ra R^3.

Câu 47:

Cho \(E = {( 1 , 1 ,1 ) ; ( 1 , 0, 1 ) }\) là cơ sở của không gian vecto thực V. Tìm tọa độ của vecto \(x = ( 1 , 4, 1 )\) trong cơ sở E.

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Gọi tọa độ của x trong cơ sở E là (a, b). Khi đó ta có:
x = a*(1, 1, 1) + b*(1, 0, 1) = (a+b, a, a+b)
Do x = (1, 4, 1) nên ta có hệ phương trình:
a + b = 1
a = 4
a + b = 1
Giải hệ phương trình này, ta được a = 4 và b = -3. Vậy tọa độ của x trong cơ sở E là (4, -3).

Câu 48:

Trong không gian vecto V cho cơ sở \(E = {e_1, e_2, e_3}\). Tìm tọa độ vecto \(x = 3e_3 − 4e_1 + 2e_2\) trong cơ sở E

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Vecto \(x = 3e_3 − 4e_1 + 2e_2\) có thể được viết lại thành \(x = -4e_1 + 2e_2 + 3e_3\). Do đó, tọa độ của vecto x trong cơ sở E là (-4, 2, 3).

Câu 49:

Trong không gian R₄ cho cơ sở \(E = {( 0, 0, 0, 1 ) , ( 0, 0, 1 , −1 ) , ( 0, 1 , −2, 1 ) , ( 1 , −3, 3, −1 ) }\). Tìm tọa độ vecto v = ( 0, 3, −4,5 ) trong cơ sở E.

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta cần tìm các hệ số a, b, c, d sao cho:
(0, 3, -4, 5) = a(0, 0, 0, 1) + b(0, 0, 1, -1) + c(0, 1, -2, 1) + d(1, -3, 3, -1)
Điều này tương đương với hệ phương trình:
0 = d
3 = c - 3d
-4 = b - 2c + 3d
5 = a - b + c - d

Giải hệ phương trình này:
d = 0
c = 3 + 3d = 3
b = -4 + 2c - 3d = -4 + 2(3) = 2
a = 5 + b - c + d = 5 + 2 - 3 = 4

Vậy, (0, 3, -4, 5) = 4(0, 0, 0, 1) + 2(0, 0, 1, -1) + 3(0, 1, -2, 1) + 0(1, -3, 3, -1)
Do đó, tọa độ của vecto v trong cơ sở E là [v]_E = (4, 2, 3, 0)^T

Câu 50:

Biết tọa độ vecto p(x) trong cơ sở \(\{1 , 1 − x, ( 1 − x)^2\}\) là ( 1, −1, 1). Tìm tọa độ vecto p(x) trong cơ sở \(\{x^2, 2x, x + 1 \}.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có \(p(x) = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (1-x) + 1 \cdot (1-x)^2 = 1 - 1 + x + 1 - 2x + x^2 = x^2 - x + 1.\)

Đặt \(p(x) = a \cdot x^2 + b \cdot 2x + c \cdot (x+1) = ax^2 + 2bx + cx + c = ax^2 + (2b+c)x + c.\)

Đồng nhất hệ số, ta có:

\(\begin{cases}a = 1 \\ 2b + c = -1 \\ c = 1\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a = 1 \\ b = -1 \\ c = 1\end{cases}.\)

Vậy tọa độ của \(p(x)\) trong cơ sở \(\{x^2, 2x, x+1\}\) là \((1, -1, 1).\)

Câu 1:

Cho A B, là hai ma trận vuông cấp 5. Giả sử dòng 2 của A bằng 0 và cột 3 của B bằng 0. Đặt C = AB, khi đó ta có

Lời giải: