Cho ba vectơ {x, y, z} là cơ sở của không gian vectơ V. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Với giá trị nào của k thì \(M = {(1 , 1 ,1 ) , ( 1 ,2, 3 ) , ( 3, 4,5 ) , ( 1 , 1 , k) }\) không sinh ra R₃?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tập M không sinh ra R3, các vectơ trong M phải phụ thuộc tuyến tính. Ta xét các vectơ (1, 1, 1), (1, 2, 3), (3, 4, 5). Nhận thấy (3, 4, 5) = (1, 1, 1) + 2 * (1, 2, 3). Vậy (3, 4, 5) là tổ hợp tuyến tính của (1, 1, 1) và (1, 2, 3). Do đó, R3 được sinh bởi M khi và chỉ khi (1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 1, k) độc lập tuyến tính. Điều này xảy ra khi định thức của ma trận tạo bởi ba vectơ này khác 0. Ma trận đó là:

| 1 1 1 |
| 1 2 1 |
| 1 3 k |

Định thức là: 1*(2k - 3) - 1*(k - 1) + 1*(3 - 2) = 2k - 3 - k + 1 + 1 = k - 1. Để M không sinh ra R3, định thức phải bằng 0, tức là k - 1 = 0, suy ra k = 1.

Câu 42:

Cho M = {x, y, z} là tập cơ sở của không gian vecto V. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Vì M = {x, y, z} là tập cơ sở của không gian vector V nên:

Dim(V) = 3, do đó phương án 2 sai.
Mọi vector trong V đều có thể biểu diễn tuyến tính qua x, y, z một cách duy nhất.
Một tập hợp là cơ sở của V nếu nó độc lập tuyến tính và sinh ra V.

Xét phương án 1: {x, y, x + z}. Để kiểm tra xem nó có phải là cơ sở hay không, ta xét tính độc lập tuyến tính:

a.x + b.y + c.(x + z) = 0

(a + c).x + b.y + c.z = 0

Vì x, y, z độc lập tuyến tính nên a + c = 0, b = 0, c = 0 => a = 0, b = 0, c = 0. Do đó, {x, y, x + z} độc lập tuyến tính. Tuy nhiên, {x, y, x + z} không thể sinh ra V vì không thể biểu diễn z qua x, y, x+z.

Xét phương án 3: {x, y, x + y + z}. Ta có thể biểu diễn (x + y + z) = 1.x + 1.y + 1.z. Vì x, y, z độc lập tuyến tính, nên hệ số của chúng phải khác 0. Do đó, {x, y, x + y + z} độc lập tuyến tính, không phụ thuộc tuyến tính. Vậy phương án 3 sai.

Xét phương án 4: {x, y, 2x + y}. Ta có thể biểu diễn (2x + y) = 2.x + 1.y + 0.z. Do đó, 2x + y thuộc V. Tuy nhiên, {x, y, 2x + y} không thể sinh ra V vì không thể biểu diễn z qua x, y, 2x+y.

Xét phương án 1: {x, y, x + z} là cơ sở của V khi và chỉ khi nó độc lập tuyến tính và sinh ra V. Ta thấy rằng {x, y, x + z} độc lập tuyến tính. Tuy nhiên, nó không thể sinh ra V vì không thể biểu diễn z qua x, y và x + z. Chú ý rằng phương án 1 có thể đúng trong một số trường hợp (ví dụ khi z là tổ hợp tuyến tính của x và y), nhưng câu hỏi yêu cầu khẳng định "luôn đúng".

Tuy nhiên, sau khi xem xét kỹ lưỡng, ta thấy rằng không có đáp án nào đúng hoàn toàn trong các lựa chọn đã cho. Vì đề bài yêu cầu chọn khẳng định "luôn đúng", và cả 4 phương án đều không thỏa mãn điều kiện này, ta có thể kết luận rằng có lẽ có một sai sót trong đề bài hoặc các phương án trả lời.

Trong trường hợp này, chúng ta cần xem xét lại đề bài và các phương án trả lời một cách cẩn thận để xác định xem có bất kỳ thông tin nào bị thiếu hoặc không chính xác hay không.

Do không có đáp án đúng, nên theo quy tắc, chúng ta không thể chọn một đáp án nào.

Câu 43:

Cho M = {x, y, z} là cơ sở của không gian vecto thực V. Với giá trị nào của số thực m thì \(2x + 3y + z, mx + 2y + z, x + y + z\) cũng là cơ sở?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để \(2x + 3y + z, mx + 2y + z, x + y + z\) là cơ sở của V, thì định thức của ma trận tạo bởi các vectơ này phải khác 0. Ta có ma trận:
\(\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ m & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\)
Tính định thức của ma trận này:
\(\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ m & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(2-1) - 3(m-1) + 1(m-2) = 2 - 3m + 3 + m - 2 = 3 - 2m\)
Để định thức khác 0, ta có:
\(3 - 2m \ne 0 \Rightarrow 2m \ne 3 \Rightarrow m \ne \frac{3}{2}\)
Vậy, \(m \ne \frac{3}{2}\).

Câu 44:

Cho M = {x, y, z, t} là tập sinh của không gian vecto V, biết {x, y, z} là họ độc lập tuyến tính cực đại của M. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Vì M = {x, y, z, t} là tập sinh của không gian vector V, và {x, y, z} là họ độc lập tuyến tính cực đại của M, điều này có nghĩa là mọi vector trong V đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của {x, y, z}. Đặc biệt, vector t cũng phải biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của {x, y, z}.

Phương án 1 đúng vì t là tổ hợp tuyến tính của {x, y, z}.

Phương án 2 sai vì Dim(V) = 3 (do {x, y, z} là cơ sở của V).

Phương án 3 sai vì nếu {x, y, t} độc lập tuyến tính thì {x, y, z} không phải là họ độc lập tuyến tính cực đại của M.

Phương án 4 sai vì có một câu đúng (câu 1).

Câu 45:

Trong không gian vecto R³cho các ba vecto \( x_1 = ( 2, 1 , −1 ), x_2 = ( 3,2, 1 ), x_3 = ( 3, m, 1 )\). Với giá trị nào của m thì x₃ là tổ hợp tuyến tính của x₁ và x₂?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để x3 là tổ hợp tuyến tính của x1 và x2, ta cần tìm các số thực a, b sao cho x3 = a*x1 + b*x2.

Tức là (3, m, 1) = a(2, 1, -1) + b(3, 2, 1) = (2a + 3b, a + 2b, -a + b)

Điều này dẫn đến hệ phương trình:
1) 2a + 3b = 3
2) a + 2b = m
3) -a + b = 1

Từ phương trình (3), ta có a = b - 1. Thay vào phương trình (1), ta được:
2(b - 1) + 3b = 3
2b - 2 + 3b = 3
5b = 5
b = 1

Suy ra a = b - 1 = 1 - 1 = 0.

Thay a = 0 và b = 1 vào phương trình (2), ta được:
0 + 2(1) = m
m = 2

Vậy, với m = 2 thì x3 là tổ hợp tuyến tính của x1 và x2.

Câu 46:

Tìm tất cả giá trị thực m để \(M = {( m, 1 , 1 ) , ( 1 , m,1 ) , ( 1 ,1 , m) }\) không sinh ra R³?

Lời giải: