Cho M = {x, y, z} là tập cơ sở của không gian vecto V. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Câu 43:

Cho M = {x, y, z} là cơ sở của không gian vecto thực V. Với giá trị nào của số thực m thì \(2x + 3y + z, mx + 2y + z, x + y + z\) cũng là cơ sở?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để \(2x + 3y + z, mx + 2y + z, x + y + z\) là cơ sở của V, thì định thức của ma trận tạo bởi các vectơ này phải khác 0. Ta có ma trận:
\(\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ m & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\)
Tính định thức của ma trận này:
\(\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ m & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(2-1) - 3(m-1) + 1(m-2) = 2 - 3m + 3 + m - 2 = 3 - 2m\)
Để định thức khác 0, ta có:
\(3 - 2m \ne 0 \Rightarrow 2m \ne 3 \Rightarrow m \ne \frac{3}{2}\)
Vậy, \(m \ne \frac{3}{2}\).

Câu 44:

Cho M = {x, y, z, t} là tập sinh của không gian vecto V, biết {x, y, z} là họ độc lập tuyến tính cực đại của M. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Vì M = {x, y, z, t} là tập sinh của không gian vector V, và {x, y, z} là họ độc lập tuyến tính cực đại của M, điều này có nghĩa là mọi vector trong V đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của {x, y, z}. Đặc biệt, vector t cũng phải biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của {x, y, z}.

Phương án 1 đúng vì t là tổ hợp tuyến tính của {x, y, z}.

Phương án 2 sai vì Dim(V) = 3 (do {x, y, z} là cơ sở của V).

Phương án 3 sai vì nếu {x, y, t} độc lập tuyến tính thì {x, y, z} không phải là họ độc lập tuyến tính cực đại của M.

Phương án 4 sai vì có một câu đúng (câu 1).

Câu 45:

Trong không gian vecto R³cho các ba vecto \( x_1 = ( 2, 1 , −1 ), x_2 = ( 3,2, 1 ), x_3 = ( 3, m, 1 )\). Với giá trị nào của m thì x₃ là tổ hợp tuyến tính của x₁ và x₂?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để x3 là tổ hợp tuyến tính của x1 và x2, ta cần tìm các số thực a, b sao cho x3 = a*x1 + b*x2.

Tức là (3, m, 1) = a(2, 1, -1) + b(3, 2, 1) = (2a + 3b, a + 2b, -a + b)

Điều này dẫn đến hệ phương trình:
1) 2a + 3b = 3
2) a + 2b = m
3) -a + b = 1

Từ phương trình (3), ta có a = b - 1. Thay vào phương trình (1), ta được:
2(b - 1) + 3b = 3
2b - 2 + 3b = 3
5b = 5
b = 1

Suy ra a = b - 1 = 1 - 1 = 0.

Thay a = 0 và b = 1 vào phương trình (2), ta được:
0 + 2(1) = m
m = 2

Vậy, với m = 2 thì x3 là tổ hợp tuyến tính của x1 và x2.

Câu 46:

Tìm tất cả giá trị thực m để \(M = {( m, 1 , 1 ) , ( 1 , m,1 ) , ( 1 ,1 , m) }\) không sinh ra R³?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để M không sinh ra R^3, thì các vector trong M phải tuyến tính phụ thuộc. Điều này có nghĩa là định thức của ma trận tạo bởi các vector này phải bằng 0.

Xét ma trận:

| m 1 1 |
| 1 m 1 |
| 1 1 m |

Tính định thức:

det = m(m^2 - 1) - 1(m - 1) + 1(1 - m)
= m^3 - m - m + 1 + 1 - m
= m^3 - 3m + 2

Ta cần giải phương trình m^3 - 3m + 2 = 0

Nhận thấy m = 1 là một nghiệm, vì 1 - 3 + 2 = 0.

Khi đó, m^3 - 3m + 2 = (m - 1)(m^2 + m - 2) = (m - 1)(m - 1)(m + 2) = (m - 1)^2 (m + 2)

Vậy, phương trình có nghiệm m = 1 (nghiệm kép) và m = -2.

Vậy, m = 1 và m = -2 thì M không sinh ra R^3.

Câu 47:

Cho \(E = {( 1 , 1 ,1 ) ; ( 1 , 0, 1 ) }\) là cơ sở của không gian vecto thực V. Tìm tọa độ của vecto \(x = ( 1 , 4, 1 )\) trong cơ sở E.

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Gọi tọa độ của x trong cơ sở E là (a, b). Khi đó ta có:
x = a*(1, 1, 1) + b*(1, 0, 1) = (a+b, a, a+b)
Do x = (1, 4, 1) nên ta có hệ phương trình:
a + b = 1
a = 4
a + b = 1
Giải hệ phương trình này, ta được a = 4 và b = -3. Vậy tọa độ của x trong cơ sở E là (4, -3).

Câu 48:

Trong không gian vecto V cho cơ sở \(E = {e_1, e_2, e_3}\). Tìm tọa độ vecto \(x = 3e_3 − 4e_1 + 2e_2\) trong cơ sở E

Lời giải: