Tính \(I=\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ a&b&c\\ {b + a}&{c + a}&{a + b} \end{array}} \right|\)

Ta có: \[I = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ a&b&c\\ {b + a}&{c + a}&{a + b} \end{array}} \right|\] Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng: dòng 3 trừ dòng 2 và dòng 1 nhân a, ta được: \[I = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ a&b&c\\ b&c&a \end{array}} \right|\] Tiếp tục sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên cột: cột 2 trừ cột 1, cột 3 trừ cột 1, ta được: \[I = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ a&{b - a}&{c - a}\\ b&{c - b}&{a - b} \end{array}} \right| = 1.\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {b - a}&{c - a}\\ {c - b}&{a - b} \end{array}} \right|\] \[= (b - a)(a - b) - (c - a)(c - b) = ab - b^2 - a^2 + ab - (c^2 - bc - ac + ab) = 2ab - a^2 - b^2 - c^2 + bc + ac - ab\] \[= ab - a^2 - b^2 - c^2 + bc + ac\] Hoán đổi dòng 2 và dòng 3: \[I = -\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ b&c&a\\ a&b&c \end{array}} \right|\] Thực hiện C2 - C1, C3 - C1: \[I = -\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ b&{c - b}&{a - b}\\ a&{b - a}&{c - a} \end{array}} \right| = -\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {c - b}&{a - b}\\ {b - a}&{c - a} \end{array}} \right| = -[(c-b)(c-a) - (a-b)(a-b)] = -[c^2 - ac - bc + ab - (a^2 - 2ab + b^2)] = -c^2 + ac + bc - ab + a^2 - 2ab + b^2 = a^2 + b^2 - c^2 + ac + bc - 3ab\] Nếu b+a = c+a = a+b => a=b=c => I = 0 Nhận xét: Nếu ta trừ dòng 3 cho dòng 2, ta được dòng 3 là (b-c, c-b, a-c). Do đó, định thức này sẽ bằng 0 nếu dòng 2 và dòng 3 tỉ lệ, tức là a=b=c. Tuy nhiên, ta cần chứng minh điều này tổng quát hơn. Thực hiện phép biến đổi dòng 3 = dòng 3 - dòng 1 * (a+b+c): \[I=\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ a&b&c\\ {b + a}&{c + a}&{a + b} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ a&b&c\\ {b + a - (a+b+c)}&{c + a - (a+b+c)}&{a + b - (a+b+c)} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ a&b&c\\ {-c}&{-b}&{-c} \end{array}} \right|\] Biến đổi sai. Ta có dòng 3 = dòng 1 * a + dòng 2, nên dòng 3 = dòng 1 * b + dòng 2, nên dòng 3 = dòng 1 * c + dòng 2. Điều này không đúng. Thực hiện phép biến đổi C3 -> C3 - C2, C2 -> C2 - C1, ta có: \[I = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ a&{b-a}&{c-b}\\ {b + a}&{c-b}&{a-c} \end{array}} \right| = (b-a)(a-c) - (c-b)^2 = ab - ac - a^2 + ac - (c^2 -2bc +b^2) = ab - a^2 - c^2 + 2bc - b^2\] Nếu I=0, thì ab - a^2 - c^2 + 2bc - b^2 = 0 Đáp án đúng là I = 0