Cho \(A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&3\\ 2&3&0&4\\ 4&{ - 2}&5&6\\ { - 1}&{k + 1}&4&{\mathop k\nolimits^2 + 2} \end{array}} \right)\). Với giá trị nào của k thì \(r(A) \ge 3.\)

Câu 38:

Cho \(A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&1\\ 2&4&2\\ 3&{ - 1}&4 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&2\\ 2&3&m\\ 3&0&{m + 1} \end{array}} \right)\) . Tìm m để A khả nghịch

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để A khả nghịch thì det(A) phải khác 0. Ta có:

\(A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&1\\ 2&4&2\\ 3&{ - 1}&4 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&2\\ 2&3&m\\ 3&0&{m + 1} \end{array}} \right)\)

Tính định thức của ma trận thứ nhất:

\(\begin{vmatrix} 1&2&1\\ 2&4&2\\ 3&{ - 1}&4 \end{vmatrix} = 1(16+2) - 2(8-6) + 1(-2-12) = 18 - 4 - 14 = 0\)

Vậy det(A) = 0 với mọi m. Do đó A không khả nghịch với mọi giá trị của m.

Câu 39:

Cho không gian véctơ V có chiều bằng 3, biết {x, y} độc lập tuyến tính. Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Vì V có chiều bằng 3 và {x, y} độc lập tuyến tính, để V = thì {x, y, z} phải độc lập tuyến tính.

Phương án 1: 2x là tổ hợp tuyến tính của x nên chỉ là không gian sinh bởi {x, y}, do đó không thể bằng V.
Phương án 2: Tập {x, y, 0} phụ thuộc tuyến tính vì luôn tồn tại hệ số khác 0 (ví dụ 0x + 0y + 1*0 = 0) để tổ hợp tuyến tính bằng 0.
Phương án 3: x + 2y là tổ hợp tuyến tính của x và y nên chỉ là không gian sinh bởi {x, y}, do đó không thể bằng V.
Phương án 4: x - y là tổ hợp tuyến tính của x và y, nên {x, y, x - y} chỉ sinh ra không gian 2 chiều (không gian sinh bởi {x, y}).

Vì không có đáp án nào đúng nên ta chọn đáp án gần đúng nhất, đó là phương án 4, mặc dù nó không đúng hoàn toàn vì không gian sinh ra là không gian hai chiều được sinh bởi {x, y}, chứ không phải một không gian hai chiều bất kỳ. Tuy nhiên, các phương án còn lại sai rõ ràng hơn. Do đó, xem xét về mặt ngữ cảnh, phương án 4 có vẻ hợp lý nhất so với các phương án khác. Nhưng cần lưu ý rằng, theo lý thuyết, không có đáp án nào thực sự đúng trong các lựa chọn đã cho.

Câu 40:

Cho ba vectơ {x, y, z} là cơ sở của không gian vectơ V. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Vì {x, y, z} là cơ sở của không gian vectơ V, nên chúng độc lập tuyến tính và mọi vectơ trong V đều có thể biểu diễn tuyến tính qua {x, y, z}.

* Đáp án 1: {x, y, 2y} sinh ra V là sai, vì 2y phụ thuộc tuyến tính vào y, nên họ này không thể là cơ sở và không sinh ra V.
* Đáp án 2: {x, 2y, z} phụ thuộc tuyến tính là sai, vì {x, y, z} độc lập tuyến tính, nên {x, 2y, z} cũng độc lập tuyến tính.
* Đáp án 3: Xét họ {x, x + y, x − 2y}. Ta có thể biểu diễn x − 2y = a*x + b*(x + y) để kiểm tra sự phụ thuộc tuyến tính. Giải hệ phương trình a+b = 1 và b = -2 ta được a = 3 và b = -2. Vậy x − 2y = 3x - 2(x + y), suy ra {x, x + y, x − 2y} phụ thuộc tuyến tính. Tuy nhiên, {x, x+y} độc lập tuyến tính nên hạng của họ là 2.
* Đáp án 4: {x, y, x + y + z} không sinh ra V là sai. Vì x, y, z là cơ sở của V nên mọi phần tử của V đều biểu diễn được qua x, y, z. Suy ra x + y + z thuộc V. Khi đó {x, y, x+y+z} là một cơ sở khác của V.

Vậy đáp án đúng là: Hạng của họ {x, x + y, x − 2y} bằng 2.

Câu 41:

Với giá trị nào của k thì \(M = {(1 , 1 ,1 ) , ( 1 ,2, 3 ) , ( 3, 4,5 ) , ( 1 , 1 , k) }\) không sinh ra R₃?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tập M không sinh ra R3, các vectơ trong M phải phụ thuộc tuyến tính. Ta xét các vectơ (1, 1, 1), (1, 2, 3), (3, 4, 5). Nhận thấy (3, 4, 5) = (1, 1, 1) + 2 * (1, 2, 3). Vậy (3, 4, 5) là tổ hợp tuyến tính của (1, 1, 1) và (1, 2, 3). Do đó, R3 được sinh bởi M khi và chỉ khi (1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 1, k) độc lập tuyến tính. Điều này xảy ra khi định thức của ma trận tạo bởi ba vectơ này khác 0. Ma trận đó là:

| 1 1 1 |
| 1 2 1 |
| 1 3 k |

Định thức là: 1*(2k - 3) - 1*(k - 1) + 1*(3 - 2) = 2k - 3 - k + 1 + 1 = k - 1. Để M không sinh ra R3, định thức phải bằng 0, tức là k - 1 = 0, suy ra k = 1.

Câu 42:

Cho M = {x, y, z} là tập cơ sở của không gian vecto V. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Vì M = {x, y, z} là tập cơ sở của không gian vector V nên:

Dim(V) = 3, do đó phương án 2 sai.
Mọi vector trong V đều có thể biểu diễn tuyến tính qua x, y, z một cách duy nhất.
Một tập hợp là cơ sở của V nếu nó độc lập tuyến tính và sinh ra V.

Xét phương án 1: {x, y, x + z}. Để kiểm tra xem nó có phải là cơ sở hay không, ta xét tính độc lập tuyến tính:

a.x + b.y + c.(x + z) = 0

(a + c).x + b.y + c.z = 0

Vì x, y, z độc lập tuyến tính nên a + c = 0, b = 0, c = 0 => a = 0, b = 0, c = 0. Do đó, {x, y, x + z} độc lập tuyến tính. Tuy nhiên, {x, y, x + z} không thể sinh ra V vì không thể biểu diễn z qua x, y, x+z.

Xét phương án 3: {x, y, x + y + z}. Ta có thể biểu diễn (x + y + z) = 1.x + 1.y + 1.z. Vì x, y, z độc lập tuyến tính, nên hệ số của chúng phải khác 0. Do đó, {x, y, x + y + z} độc lập tuyến tính, không phụ thuộc tuyến tính. Vậy phương án 3 sai.

Xét phương án 4: {x, y, 2x + y}. Ta có thể biểu diễn (2x + y) = 2.x + 1.y + 0.z. Do đó, 2x + y thuộc V. Tuy nhiên, {x, y, 2x + y} không thể sinh ra V vì không thể biểu diễn z qua x, y, 2x+y.

Xét phương án 1: {x, y, x + z} là cơ sở của V khi và chỉ khi nó độc lập tuyến tính và sinh ra V. Ta thấy rằng {x, y, x + z} độc lập tuyến tính. Tuy nhiên, nó không thể sinh ra V vì không thể biểu diễn z qua x, y và x + z. Chú ý rằng phương án 1 có thể đúng trong một số trường hợp (ví dụ khi z là tổ hợp tuyến tính của x và y), nhưng câu hỏi yêu cầu khẳng định "luôn đúng".

Tuy nhiên, sau khi xem xét kỹ lưỡng, ta thấy rằng không có đáp án nào đúng hoàn toàn trong các lựa chọn đã cho. Vì đề bài yêu cầu chọn khẳng định "luôn đúng", và cả 4 phương án đều không thỏa mãn điều kiện này, ta có thể kết luận rằng có lẽ có một sai sót trong đề bài hoặc các phương án trả lời.

Trong trường hợp này, chúng ta cần xem xét lại đề bài và các phương án trả lời một cách cẩn thận để xác định xem có bất kỳ thông tin nào bị thiếu hoặc không chính xác hay không.

Do không có đáp án đúng, nên theo quy tắc, chúng ta không thể chọn một đáp án nào.

Câu 43:

Cho M = {x, y, z} là cơ sở của không gian vecto thực V. Với giá trị nào của số thực m thì \(2x + 3y + z, mx + 2y + z, x + y + z\) cũng là cơ sở?

Lời giải: