Cho \(f(x)=\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&x\\ 3&4&2&{\mathop x\nolimits^2 }\\ { - 2}&1&3&{2x}\\ 1&{ - 1}&2&1 \end{array}} \right|\). Khẳng định đúng là?

Ta có:

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&0 \end{array}} \right);\,\,B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 0&2\\ 0&3 \end{array}} \right)\)

Ma trận A có kích thước 2x2, ma trận B có kích thước 3x2.

Khi đó AB là không xác định vì số cột của A (2) khác số hàng của B (3).

BA xác định và có kích thước 3x2.
Ta có:

\(BA = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 0&2\\ 0&3 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&0 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 0&0\\ 0&0 \end{array}} \right)\)

Vậy BA xác định và \(BA=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 0&0\\ 0&0 \end{array}} \right)\)

Ta có : 

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&1\\ 2&4&2\\ 3&{ - 1}&4 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&2\\ 2&3&m\\ 3&0&{m + 1} \end{array}} \right)\)

\( = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 8&5&{m + 6}\\ {16}&{10}&{2m + 12}\\ {11}&{ - 6}&{2m + 5} \end{array}} \right)\)

Để A khả nghịch thì det(A) phải khác 0

\(\begin{array}{*{20}{l}} {det(A) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 8&5&{m + 6}\\ {16}&{10}&{2m + 12}\\ {11}&{ - 6}&{2m + 5} \end{array}} \right|}\\ { = 8\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {10}&{2m + 12}\\ { - 6}&{2m + 5} \end{array}} \right| - 5\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {16}&{2m + 12}\\ {11}&{2m + 5} \end{array}} \right| + (m + 6)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {16}&{10}\\ {11}&{ - 6} \end{array}} \right|}\\ { = 8(20m + 50 + 12m + 72) - 5(32m + 80 - 22m - 132) + (m + 6)( - 96 - 110)}\\ { = 8(32m + 122) - 5(10m - 52) + (m + 6)( - 206)}\\ { = 256m + 976 - 50m + 260 - 206m - 1236}\\ { = 0m + 0 = 0} \end{array}\)

Vậy det(A) = 0 với mọi m => A suy biến hay A không khả nghịch

Vậy không tồn tại giá trị m

Vì không gian véctơ V có chiều bằng 3, và {x, y} độc lập tuyến tính, nên để V = <x, y, z> thì {x, y, z} phải là một cơ sở của V. Điều này có nghĩa là z phải độc lập tuyến tính với x và y.

- Phương án 1: V = <x, y, 2x>. Vì 2x là tổ hợp tuyến tính của x, nên {x, y, 2x} không độc lập tuyến tính, do đó không thể sinh ra V.

- Phương án 2: Tập {x, y, 0} không độc lập tuyến tính vì luôn có tổ hợp tuyến tính khác không bằng 0 (ví dụ: 0*x + 0*y + 1*0 = 0).

- Phương án 3: V = <x, y, x + 2y>. Vì x + 2y là tổ hợp tuyến tính của x và y, nên {x, y, x + 2y} không độc lập tuyến tính, do đó không thể sinh ra V.

- Phương án 4: {x, y, x - y} sinh ra không gian 2 chiều. Vì x - y là tổ hợp tuyến tính của x và y, nên không gian sinh bởi {x, y, x - y} chỉ là không gian sinh bởi {x, y}, tức là không gian 2 chiều.