260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Đề 6

15 câu hỏi 60 phút

Thẻ ghi nhớ

Luyện tập

Thi thử

Nhấn để lật thẻ

1 / 15

Cho 2 hệ phương trình AX = 0 (1) và AX = B (2) với A_mxn. Cho phát biểu sai?

Nếu m = n và (1) có duy nhất nghiệm thì (2) có duy nhất nghiệm

Nếu (1) có duy nhất nghiệm thì (2) có nghiệm

Nếu (1) có vô số nghiệm thì chưa chắc (2) có nghiệm

Nếu (2) có vô số nghiệm thì (1) có vô số nghiệm

Đáp án

Đáp án đúng: B

Phương án 1: Nếu m = n và (1) có duy nhất nghiệm thì det(A) khác 0, suy ra A khả nghịch. Khi đó (2) có nghiệm duy nhất X = A^(-1)B. Vậy phương án này đúng.
Phương án 2: Nếu (1) có duy nhất nghiệm thì A.x = 0 chỉ có nghiệm tầm thường => rank(A) = n. Do đó, hệ (2) có nghiệm khi và chỉ khi B thuộc không gian sinh bởi các cột của A. Do đó, chưa chắc (2) có nghiệm. Vậy phương án này sai.
Phương án 3: Nếu (1) có vô số nghiệm thì A.x = 0 có vô số nghiệm => rank(A) < n. Do đó, chưa chắc (2) có nghiệm. Vậy phương án này đúng.
Phương án 4: Nếu (2) có vô số nghiệm thì A(x1) = B và A(x2) = B với x1 khác x2. Suy ra A(x1 - x2) = 0 với x1 - x2 khác 0. Vậy (1) có vô số nghiệm. Phương án này đúng.
Vậy, phương án sai là phương án 2.

Danh sách câu hỏi:

Câu 1:

Cho 2 hệ phương trình AX = 0 (1) và AX = B (2) với A_mxn. Cho phát biểu sai?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Câu 2:

Tập hợp tất cả các số phức \(z = a(\cos 2 + i\sin 2);a \in R\) trong mặt phẳng phức là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có \(z = a(\cos 2 + i\sin 2) = a\cos 2 + ai\sin 2\)

Suy ra phần thực của z là \(x = a\cos 2\) và phần ảo của z là \(y = a\sin 2\)

Do \(a\) là số thực nên \(x\) và \(y\) cũng là số thực.

Ta có \(\frac{y}{x} = \frac{a\sin 2}{a\cos 2} = tan 2\) (khi \(x \neq 0\))

Suy ra \(y = x tan 2\). Đây là phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ.

Vậy tập hợp tất cả các số phức \(z = a(\cos 2 + i\sin 2);a \in R\) trong mặt phẳng phức là một đường thẳng.

Câu 3:

Tính \(z = \frac{{1 + {i^{2007}}}}{{2 + i}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có \({i^{2007}} = {i^{4.501 + 3}} = {i^3} = - i\).
Khi đó \(z = \frac{{1 + {i^{2007}}}}{{2 + i}} = \frac{{1 - i}}{{2 + i}} = \frac{{\left( {1 - i} \right)\left( {2 - i} \right)}}{{\left( {2 + i} \right)\left( {2 - i} \right)}} = \frac{{2 - i - 2i + {i^2}}}{{4 - {i^2}}} = \frac{{2 - 3i - 1}}{{4 + 1}} = \frac{{1 - 3i}}{5} = \frac{1}{5} - \frac{3}{5}i\)

Câu 4:

Cho ma trận A: \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&3\\ 2&3&5&7\\ 3&6&{ - 3}&9\\ 4&2&{ - 1}&8 \end{array}} \right]\). Tìm hạng của ma trận phụ hợp P_A?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta thấy dòng 3 của ma trận A bằng 3 lần dòng 1 nên det(A)=0. Do đó rank(A) < 4.

Xét ma trận con tạo bởi 3 dòng đầu và 3 cột đầu của A:
\(\begin{vmatrix}
1&2&{ - 1} \\
2&3&5 \\
3&6&{ - 3}
\end{vmatrix} = 1(-9-30) -2(-6-15) -1(12-9) = -39 + 42 -3 = 0\)
Xét ma trận con tạo bởi 3 dòng đầu và cột 1,2,4 của A:
\(\begin{vmatrix}
1&2&3 \\
2&3&7 \\
3&6&9
\end{vmatrix} = 1(27-42) -2(18-21) + 3(12-9) = -15 + 6 + 9 = 0\)
Xét ma trận con tạo bởi dòng 1,2,4 và cột 1,2,3 của A:
\(\begin{vmatrix}
1&2&{ - 1} \\
2&3&5 \\
4&2&{ - 1}
\end{vmatrix} = 1(-3-10) -2(-2-20) -1(4-12) = -13 + 44 + 8 = 39 \neq 0\)
Do đó rank(A) = 3.

Vì rank(A) = 3 < 4 nên A không khả nghịch, suy ra det(A) = 0. Khi đó, tất cả các phần bù đại số của các phần tử của ma trận A đều khác 0. Ma trận phụ hợp P_A có cấp 4x4, mọi phần tử khác 0, nên hạng của nó bằng 1.

Vậy hạng của ma trận phụ hợp P_A là 1.

Câu 5:

Tính hạng của ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&{ - 1}\\ 2&3&5&3\\ 4&7&2&6\\ {10}&{17}&9&{15} \end{array}} \right]\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm hạng của ma trận A, ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận về dạng bậc thang.

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2&{ - 1}\\
2&3&5&3\\
4&7&2&6\\
{10}&{17}&9&{15}
\end{array}} \right]\)

Thực hiện các phép biến đổi hàng:

H2 = H2 - 2*H1

H3 = H3 - 4*H1

H4 = H4 - 10*H1

Ta được:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2&{ - 1}\\
0&1&1&5\\
0&3&{ - 6}&{10}\\
0&7&{ - 11}&{25}
\end{array}} \right]\)

Tiếp tục thực hiện các phép biến đổi hàng:

H3 = H3 - 3*H2

H4 = H4 - 7*H2

Ta được:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2&{ - 1}\\
0&1&1&5\\
0&0&{ - 9}&{ - 5}\\
0&0&{ - 18}&{ - 10}
\end{array}} \right]\)

Tiếp tục thực hiện phép biến đổi hàng:

H4 = H4 - 2*H3

Ta được:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2&{ - 1}\\
0&1&1&5\\
0&0&{ - 9}&{ - 5}\\
0&0&0&0
\end{array}} \right]\)

Ma trận đã được đưa về dạng bậc thang và có 3 hàng khác 0. Vậy hạng của ma trận A là 3.

Câu 6:

Cho \(A \in {M_{3 \times 4}}\left[ R \right]\). Sử dụng phép biến đổi sơ cấp: Đổi chỗ cột 1 và cột 3 cho nhau. Phép biến đổi trên tương đương với nhân bên phải ma trận A cho ma trận nào sau đây.

Lời giải: