Cho không gian vecto V sinh ra bởi 4 vecto v₁, v₂, v₃, v₄. Giả sử v₁, v₃ là hệ độc lập tuyến tính cực đại của hệ v₁, v₂, v₃, v₄. Khẳng định nào sau đây đúng?

v₁, v₂, v₃ không sinh ra V

v₂là tổ hợp tuyến tính của v₁, v₃, v₄

v₁, v₃ không sinh ra V

3 câu kia đều sai

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Theo đề bài, V được sinh ra bởi v₁, v₂, v₃, v₄. v₁, v₃ là hệ độc lập tuyến tính cực đại của hệ v₁, v₂, v₃, v₄. Điều này có nghĩa là v₂ và v₄ có thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của v₁ và v₃, do đó V cũng được sinh ra bởi v₁ và v₃. Tức là, mọi vector trong V đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của v₁ và v₃.

Xét từng phương án:

Phương án 1: v₁, v₂, v₃ không sinh ra V. Sai, vì v₂ là tổ hợp tuyến tính của v₁ và v₃, nên v₁, v₂, v₃ sinh ra V.
Phương án 2: v₂ là tổ hợp tuyến tính của v₁, v₃, v₄. Đúng, vì v₂ là tổ hợp tuyến tính của v₁ và v₃.
Phương án 3: v₁, v₃ không sinh ra V. Sai, vì v₁, v₃ sinh ra V.

Vậy đáp án đúng là phương án 2.

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 6

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

15 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 15:

Tìm vecto p(x) biết tọa độ của nó trong cơ sở \(E = {x^2 + x + 2 ; 2x^2 − 3x + 5; x + 1 }\) là ( 3, −4,5 ) E. Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có tọa độ của vecto p(x) trong cơ sở E là (3, -4, 5), nghĩa là:

\(p(x) = 3(x^2 + x + 2) - 4(2x^2 - 3x + 5) + 5(x + 1)\\)

\(p(x) = 3x^2 + 3x + 6 - 8x^2 + 12x - 20 + 5x + 5\\)

\(p(x) = (3 - 8)x^2 + (3 + 12 + 5)x + (6 - 20 + 5)\\)

\(p(x) = -5x^2 + 20x - 9\\)

Vậy, \(p(x) = -5x^2 + 20x - 9.\)

Câu 1:

Cho 2 hệ phương trình AX = 0 (1) và AX = B (2) với A_mxn. Cho phát biểu sai?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Phương án 1: Nếu m = n và (1) có duy nhất nghiệm thì det(A) khác 0, suy ra A khả nghịch. Khi đó (2) có nghiệm duy nhất X = A^(-1)B. Vậy phương án này đúng.
Phương án 2: Nếu (1) có duy nhất nghiệm thì A.x = 0 chỉ có nghiệm tầm thường => rank(A) = n. Do đó, hệ (2) có nghiệm khi và chỉ khi B thuộc không gian sinh bởi các cột của A. Do đó, chưa chắc (2) có nghiệm. Vậy phương án này sai.
Phương án 3: Nếu (1) có vô số nghiệm thì A.x = 0 có vô số nghiệm => rank(A) < n. Do đó, chưa chắc (2) có nghiệm. Vậy phương án này đúng.
Phương án 4: Nếu (2) có vô số nghiệm thì A(x1) = B và A(x2) = B với x1 khác x2. Suy ra A(x1 - x2) = 0 với x1 - x2 khác 0. Vậy (1) có vô số nghiệm. Phương án này đúng.
Vậy, phương án sai là phương án 2.

Câu 2:

Tập hợp tất cả các số phức \(z = a(\cos 2 + i\sin 2);a \in R\) trong mặt phẳng phức là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có \(z = a(\cos 2 + i\sin 2) = a\cos 2 + ai\sin 2\)

Suy ra phần thực của z là \(x = a\cos 2\) và phần ảo của z là \(y = a\sin 2\)

Do \(a\) là số thực nên \(x\) và \(y\) cũng là số thực.

Ta có \(\frac{y}{x} = \frac{a\sin 2}{a\cos 2} = tan 2\) (khi \(x \neq 0\))

Suy ra \(y = x tan 2\). Đây là phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ.

Vậy tập hợp tất cả các số phức \(z = a(\cos 2 + i\sin 2);a \in R\) trong mặt phẳng phức là một đường thẳng.

Câu 3:

Tính \(z = \frac{{1 + {i^{2007}}}}{{2 + i}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có \({i^{2007}} = {i^{4.501 + 3}} = {i^3} = - i\).
Khi đó \(z = \frac{{1 + {i^{2007}}}}{{2 + i}} = \frac{{1 - i}}{{2 + i}} = \frac{{\left( {1 - i} \right)\left( {2 - i} \right)}}{{\left( {2 + i} \right)\left( {2 - i} \right)}} = \frac{{2 - i - 2i + {i^2}}}{{4 - {i^2}}} = \frac{{2 - 3i - 1}}{{4 + 1}} = \frac{{1 - 3i}}{5} = \frac{1}{5} - \frac{3}{5}i\)

Câu 4:

Cho ma trận A: \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&3\\ 2&3&5&7\\ 3&6&{ - 3}&9\\ 4&2&{ - 1}&8 \end{array}} \right]\). Tìm hạng của ma trận phụ hợp P_A?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta thấy dòng 3 của ma trận A bằng 3 lần dòng 1 nên det(A)=0. Do đó rank(A) < 4.

Xét ma trận con tạo bởi 3 dòng đầu và 3 cột đầu của A:
\(\begin{vmatrix}
1&2&{ - 1} \\
2&3&5 \\
3&6&{ - 3}
\end{vmatrix} = 1(-9-30) -2(-6-15) -1(12-9) = -39 + 42 -3 = 0\)
Xét ma trận con tạo bởi 3 dòng đầu và cột 1,2,4 của A:
\(\begin{vmatrix}
1&2&3 \\
2&3&7 \\
3&6&9
\end{vmatrix} = 1(27-42) -2(18-21) + 3(12-9) = -15 + 6 + 9 = 0\)
Xét ma trận con tạo bởi dòng 1,2,4 và cột 1,2,3 của A:
\(\begin{vmatrix}
1&2&{ - 1} \\
2&3&5 \\
4&2&{ - 1}
\end{vmatrix} = 1(-3-10) -2(-2-20) -1(4-12) = -13 + 44 + 8 = 39 \neq 0\)
Do đó rank(A) = 3.

Vì rank(A) = 3 < 4 nên A không khả nghịch, suy ra det(A) = 0. Khi đó, tất cả các phần bù đại số của các phần tử của ma trận A đều khác 0. Ma trận phụ hợp P_A có cấp 4x4, mọi phần tử khác 0, nên hạng của nó bằng 1.

Vậy hạng của ma trận phụ hợp P_A là 1.

Câu 5:

Tính hạng của ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&{ - 1}\\ 2&3&5&3\\ 4&7&2&6\\ {10}&{17}&9&{15} \end{array}} \right]\)

Lời giải: