Tính hạng của ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&{ - 1}\\ 2&3&5&3\\ 4&7&2&6\\ {10}&{17}&9&{15} \end{array}} \right]\)

Câu 6:

Cho \(A \in {M_{3 \times 4}}\left[ R \right]\). Sử dụng phép biến đổi sơ cấp: Đổi chỗ cột 1 và cột 3 cho nhau. Phép biến đổi trên tương đương với nhân bên phải ma trận A cho ma trận nào sau đây.

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Gọi E là ma trận đơn vị cấp 3. Ta thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên cột tương ứng với việc nhân ma trận A với ma trận E đã được biến đổi ở bên phải. Cụ thể, đổi chỗ cột 1 và cột 3 của E, ta được ma trận:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0&1\\
0&1&0\\
1&0&0
\end{array}} \right]\)

Vậy đáp án đúng là đáp án 1.

Câu 7:

Cho \(f(x) = {x^2} + 2x - 5;A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ { - 1}&2 \end{array}} \right]\). Tính f(A)?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có \(f(x) = x^2 + 2x - 5\). Khi đó, \(f(A) = A^2 + 2A - 5I\), với \(I\) là ma trận đơn vị cấp 2.

Tính \(A^2\):

\(A^2 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ { - 1}&2 \end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ { - 1}&2 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - 1}&{1 + 2}\\ { - 1 - 2}&{ - 1 + 4} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&3\\ { - 3}&3 \end{array}} \right]\)

Tính \(2A\):

\(2A = 2 \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ { - 1}&2 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&2\\ { - 2}&4 \end{array}} \right]\)

Tính \(5I\):

\(5I = 5 \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5&0\\ 0&5 \end{array}} \right]\)

Vậy,

\(f(A) = A^2 + 2A - 5I = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&3\\ { - 3}&3 \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&2\\ { - 2}&4 \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5&0\\ 0&5 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 + 2 - 5}&{3 + 2 - 0}\\ { - 3 - 2 - 0}&{3 + 4 - 5} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&5\\ { - 5}&2 \end{array}} \right]\)

Câu 8:

Cho ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&2\\ 2&2 \end{array}} \right]\). Đặt \(B= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 1&1 \end{array}} \right]\). Tính A¹⁰⁰.

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có \(A = 2B\). Do đó \(A^{100} = (2B)^{100} = 2^{100}B^{100}\).
Ta tính \(B^2 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
1&1
\end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
1&1
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&2\\
2&2
\end{array}} \right] = 2B\)
Suy ra \(B^3 = B^2 B = 2B.B = 2B^2 = 2(2B) = 2^2 B\)
\(B^4 = B^3 B = 2^2 B.B = 2^2 B^2 = 2^2(2B) = 2^3 B\)
Bằng phương pháp quy nạp, ta có \(B^n = 2^{n-1}B\) với mọi \(n \ge 1\).
Vậy \(B^{100} = 2^{99} B\). Do đó \(A^{100} = 2^{100} B^{100} = 2^{100} 2^{99} B = 2^{199} B\).

Câu 9:

Trong tất cả các nghiệm của hệ phương trình, tìm nghiệm sao cho \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2\) đạt giá trị nhỏ nhất \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} + 2{x_3} + {x_4} = 1{\rm{ }}\\ 2{x_1} + 3{x_2} + 4{x_3} + 2{x_4} = 4{\rm{ }}\\ {x_1} + 2{x_2} + 3{x_3} = 4 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Giải hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} + 2{x_3} + {x_4} = 1{\rm{ }}\\
2{x_1} + 3{x_2} + 4{x_3} + 2{x_4} = 4{\rm{ }}\\
{x_1} + 2{x_2} + 3{x_3} = 4
\end{array} \right.\)

Từ phương trình (1) và (2), ta có:
\(2({x_1} + {x_2} + 2{x_3} + {x_4}) = 2\)
\(2{x_1} + 2{x_2} + 4{x_3} + 2{x_4} = 2\)

Lấy (2) trừ đi, ta được:
\({x_2} = 2\)

Thay vào (3), ta có:
\({x_1} + 2(2) + 3{x_3} = 4\)
\({x_1} + 3{x_3} = 0\)
\({x_1} = - 3{x_3}\)

Thay vào (1), ta có:
\(- 3{x_3} + 2 + 2{x_3} + {x_4} = 1\)
\(- {x_3} + {x_4} = - 1\)
\({x_4} = {x_3} - 1\)

Vậy nghiệm tổng quát của hệ phương trình là:
\(\left( { - 3{x_3};2;{x_3};{x_3} - 1} \right)\)

Ta cần tìm \(x_3\) sao cho \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2\) đạt giá trị nhỏ nhất, tức là:
\(f({x_3}) = {(-3x_3)}^2 + {2}^2 + {x_3}^2 + {(x_3 - 1)}^2 = 9x_3^2 + 4 + x_3^2 + x_3^2 - 2x_3 + 1 = 11x_3^2 - 2x_3 + 5\)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai, ta tìm hoành độ đỉnh:
\({x_3} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 2)}}{{2(11)}} = \frac{1}{{11}}\)

Thay \(x_3 = \frac{1}{{11}}\) vào nghiệm tổng quát, ta được:
\(\left( { - 3(\frac{1}{{11}});2;\frac{1}{{11}};\frac{1}{{11}} - 1} \right) = \left( {\frac{{ - 3}}{{11}};2;\frac{1}{{11}};\frac{{ - 10}}{{11}}} \right)\)

Vậy nghiệm cần tìm là \(\left( {\frac{{ - 3}}{{11}};2;\frac{1}{{11}};\frac{{ - 10}}{{11}}} \right)\).

Câu 10:

Giải phương trình: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&x&0\\ 2&1&{ - 1}&3\\ 1&2&{2x}&x\\ { - 2}&1&3&1 \end{array}} \right| = 0\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để giải phương trình định thức bằng 0, ta cần tính định thức của ma trận và giải phương trình tìm được.

Định thức của ma trận được cho là:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&x&0\\
2&1&{ - 1}&3\\
1&2&{2x}&x\\
{ - 2}&1&3&1
\end{array}} \right| = 0\)

Tính định thức này là một công việc phức tạp, ta có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng hoặc cột để đơn giản hóa ma trận trước khi tính định thức. Tuy nhiên, để đơn giản, ta có thể sử dụng công cụ tính toán định thức trực tuyến hoặc phần mềm để tính định thức này.

Sau khi tính toán (có thể dùng phần mềm tính toán), ta được định thức là: \(-9x^2 + 18x = 0\)

Giải phương trình \(-9x^2 + 18x = 0\):

\(-9x(x - 2) = 0\)

Vậy, \(x = 0\) hoặc \(x = 2\)

Câu 11:

Cho A, B thuộc \(\mathop M\nolimits_4 {\rm{[}}R{\rm{]}},A,B\) khả nghịch. Khẳng định nào đúng?

Lời giải: