Tính \(z = \frac{{1 + {i^{2007}}}}{{2 + i}}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{{ - i}}{5}\)

\(\frac{-2}{5} + \frac{{ i}}{5}\)

\(\frac{1}{5} - \frac{{ i}}{5}\)

\(\frac{1}{5}- \frac{{3}}{5}\)

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Ta có \({i^{2007}} = {i^{4.501 + 3}} = {i^3} = - i\). Khi đó \(z = \frac{{1 + {i^{2007}}}}{{2 + i}} = \frac{{1 - i}}{{2 + i}} = \frac{{\left( {1 - i} \right)\left( {2 - i} \right)}}{{\left( {2 + i} \right)\left( {2 - i} \right)}} = \frac{{2 - i - 2i + {i^2}}}{{4 - {i^2}}} = \frac{{2 - 3i - 1}}{{4 + 1}} = \frac{{1 - 3i}}{5} = \frac{1}{5} - \frac{3}{5}i\)

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 6

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

15 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 4:

Cho ma trận A: \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&3\\ 2&3&5&7\\ 3&6&{ - 3}&9\\ 4&2&{ - 1}&8 \end{array}} \right]\). Tìm hạng của ma trận phụ hợp P_A?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta thấy dòng 3 của ma trận A bằng 3 lần dòng 1 nên det(A)=0. Do đó rank(A) < 4.

Xét ma trận con tạo bởi 3 dòng đầu và 3 cột đầu của A:
\(\begin{vmatrix}
1&2&{ - 1} \\
2&3&5 \\
3&6&{ - 3}
\end{vmatrix} = 1(-9-30) -2(-6-15) -1(12-9) = -39 + 42 -3 = 0\)
Xét ma trận con tạo bởi 3 dòng đầu và cột 1,2,4 của A:
\(\begin{vmatrix}
1&2&3 \\
2&3&7 \\
3&6&9
\end{vmatrix} = 1(27-42) -2(18-21) + 3(12-9) = -15 + 6 + 9 = 0\)
Xét ma trận con tạo bởi dòng 1,2,4 và cột 1,2,3 của A:
\(\begin{vmatrix}
1&2&{ - 1} \\
2&3&5 \\
4&2&{ - 1}
\end{vmatrix} = 1(-3-10) -2(-2-20) -1(4-12) = -13 + 44 + 8 = 39 \neq 0\)
Do đó rank(A) = 3.

Vì rank(A) = 3 < 4 nên A không khả nghịch, suy ra det(A) = 0. Khi đó, tất cả các phần bù đại số của các phần tử của ma trận A đều khác 0. Ma trận phụ hợp P_A có cấp 4x4, mọi phần tử khác 0, nên hạng của nó bằng 1.

Vậy hạng của ma trận phụ hợp P_A là 1.

Câu 5:

Tính hạng của ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&{ - 1}\\ 2&3&5&3\\ 4&7&2&6\\ {10}&{17}&9&{15} \end{array}} \right]\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm hạng của ma trận A, ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận về dạng bậc thang.

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2&{ - 1}\\
2&3&5&3\\
4&7&2&6\\
{10}&{17}&9&{15}
\end{array}} \right]\)

Thực hiện các phép biến đổi hàng:

H2 = H2 - 2*H1

H3 = H3 - 4*H1

H4 = H4 - 10*H1

Ta được:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2&{ - 1}\\
0&1&1&5\\
0&3&{ - 6}&{10}\\
0&7&{ - 11}&{25}
\end{array}} \right]\)

Tiếp tục thực hiện các phép biến đổi hàng:

H3 = H3 - 3*H2

H4 = H4 - 7*H2

Ta được:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2&{ - 1}\\
0&1&1&5\\
0&0&{ - 9}&{ - 5}\\
0&0&{ - 18}&{ - 10}
\end{array}} \right]\)

Tiếp tục thực hiện phép biến đổi hàng:

H4 = H4 - 2*H3

Ta được:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2&{ - 1}\\
0&1&1&5\\
0&0&{ - 9}&{ - 5}\\
0&0&0&0
\end{array}} \right]\)

Ma trận đã được đưa về dạng bậc thang và có 3 hàng khác 0. Vậy hạng của ma trận A là 3.

Câu 6:

Cho \(A \in {M_{3 \times 4}}\left[ R \right]\). Sử dụng phép biến đổi sơ cấp: Đổi chỗ cột 1 và cột 3 cho nhau. Phép biến đổi trên tương đương với nhân bên phải ma trận A cho ma trận nào sau đây.

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Elementary column operations on a matrix are equivalent to multiplying the matrix by a square matrix (with the same number of columns as the original matrix) from the right. This matrix is obtained by performing the corresponding transformation on the identity matrix. In this case, matrix A is 3x4, so the matrix we are looking for should be 4x4. The provided options are not 4x4 matrices. Therefore, all three statements are incorrect.

Câu 7:

Cho \(f(x) = {x^2} + 2x - 5;A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ { - 1}&2 \end{array}} \right]\). Tính f(A)?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có \(f(x) = x^2 + 2x - 5\). Khi đó, \(f(A) = A^2 + 2A - 5I\), với \(I\) là ma trận đơn vị cấp 2.

Tính \(A^2\):

\(A^2 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ { - 1}&2 \end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ { - 1}&2 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - 1}&{1 + 2}\\ { - 1 - 2}&{ - 1 + 4} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&3\\ { - 3}&3 \end{array}} \right]\)

Tính \(2A\):

\(2A = 2 \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ { - 1}&2 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&2\\ { - 2}&4 \end{array}} \right]\)

Tính \(5I\):

\(5I = 5 \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5&0\\ 0&5 \end{array}} \right]\)

Vậy,

\(f(A) = A^2 + 2A - 5I = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&3\\ { - 3}&3 \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&2\\ { - 2}&4 \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5&0\\ 0&5 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 + 2 - 5}&{3 + 2 - 0}\\ { - 3 - 2 - 0}&{3 + 4 - 5} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&5\\ { - 5}&2 \end{array}} \right]\)

Câu 8:

Cho ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&2\\ 2&2 \end{array}} \right]\). Đặt \(B= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 1&1 \end{array}} \right]\). Tính A¹⁰⁰.

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có \(A = 2B\). Do đó \(A^{100} = (2B)^{100} = 2^{100}B^{100}\).
Ta tính \(B^2 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
1&1
\end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
1&1
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&2\\
2&2
\end{array}} \right] = 2B\)
Suy ra \(B^3 = B^2 B = 2B.B = 2B^2 = 2(2B) = 2^2 B\)
\(B^4 = B^3 B = 2^2 B.B = 2^2 B^2 = 2^2(2B) = 2^3 B\)
Bằng phương pháp quy nạp, ta có \(B^n = 2^{n-1}B\) với mọi \(n \ge 1\).
Vậy \(B^{100} = 2^{99} B\). Do đó \(A^{100} = 2^{100} B^{100} = 2^{100} 2^{99} B = 2^{199} B\).

Câu 9:

Trong tất cả các nghiệm của hệ phương trình, tìm nghiệm sao cho \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2\) đạt giá trị nhỏ nhất \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} + 2{x_3} + {x_4} = 1{\rm{ }}\\ 2{x_1} + 3{x_2} + 4{x_3} + 2{x_4} = 4{\rm{ }}\\ {x_1} + 2{x_2} + 3{x_3} = 4 \end{array} \right.\)

Lời giải: