Cho 2 hệ phương trình AX = 0 (1) và AX = B (2) với A_mxn. Cho phát biểu sai?

Nếu m = n và (1) có duy nhất nghiệm thì (2) có duy nhất nghiệm.

Nếu (1) có duy nhất nghiệm thì (2) có nghiệm

Nếu (1) có vô số nghiệm thì chưa chắc (2) có nghiệm

Nếu (2) có vô số nghiệm thì (1) có vô số nghiệm

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Phương án 1: Nếu m = n và (1) có duy nhất nghiệm thì det(A) khác 0, suy ra A khả nghịch. Khi đó (2) có nghiệm duy nhất X = A^(-1)B. Vậy phương án này đúng. Phương án 2: Nếu (1) có duy nhất nghiệm thì A.x = 0 chỉ có nghiệm tầm thường => rank(A) = n. Do đó, hệ (2) có nghiệm khi và chỉ khi B thuộc không gian sinh bởi các cột của A. Do đó, chưa chắc (2) có nghiệm. Vậy phương án này sai. Phương án 3: Nếu (1) có vô số nghiệm thì A.x = 0 có vô số nghiệm => rank(A) < n. Do đó, chưa chắc (2) có nghiệm. Vậy phương án này đúng. Phương án 4: Nếu (2) có vô số nghiệm thì A(x1) = B và A(x2) = B với x1 khác x2. Suy ra A(x1 - x2) = 0 với x1 - x2 khác 0. Vậy (1) có vô số nghiệm. Phương án này đúng. Vậy, phương án sai là phương án 2.

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 6

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

15 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 2:

Tập hợp tất cả các số phức \(z = a(\cos 2 + i\sin 2);a \in R\) trong mặt phẳng phức là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có \(z = a(\cos 2 + i\sin 2) = a \cdot e^{2i}\). Vì \(a\) là số thực nên các điểm biểu diễn số phức \(z\) nằm trên đường thẳng đi qua gốc tọa độ và có vectơ chỉ phương tạo với trục hoành một góc bằng 2 radian.

Câu 3:

Tính \(z = \frac{{1 + {i^{2007}}}}{{2 + i}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có \({i^{2007}} = {i^{4.501 + 3}} = {i^3} = - i\).
Khi đó \(z = \frac{{1 + {i^{2007}}}}{{2 + i}} = \frac{{1 - i}}{{2 + i}} = \frac{{\left( {1 - i} \right)\left( {2 - i} \right)}}{{\left( {2 + i} \right)\left( {2 - i} \right)}} = \frac{{2 - i - 2i + {i^2}}}{{4 - {i^2}}} = \frac{{2 - 3i - 1}}{{4 + 1}} = \frac{{1 - 3i}}{5} = \frac{1}{5} - \frac{3}{5}i\)

Câu 4:

Cho ma trận A: \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&3\\ 2&3&5&7\\ 3&6&{ - 3}&9\\ 4&2&{ - 1}&8 \end{array}} \right]\). Tìm hạng của ma trận phụ hợp P_A?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta thấy dòng 3 của ma trận A bằng 3 lần dòng 1 nên det(A)=0. Do đó rank(A) < 4.

Xét ma trận con tạo bởi 3 dòng đầu và 3 cột đầu của A:
\(\begin{vmatrix}
1&2&{ - 1} \\
2&3&5 \\
3&6&{ - 3}
\end{vmatrix} = 1(-9-30) -2(-6-15) -1(12-9) = -39 + 42 -3 = 0\)
Xét ma trận con tạo bởi 3 dòng đầu và cột 1,2,4 của A:
\(\begin{vmatrix}
1&2&3 \\
2&3&7 \\
3&6&9
\end{vmatrix} = 1(27-42) -2(18-21) + 3(12-9) = -15 + 6 + 9 = 0\)
Xét ma trận con tạo bởi dòng 1,2,4 và cột 1,2,3 của A:
\(\begin{vmatrix}
1&2&{ - 1} \\
2&3&5 \\
4&2&{ - 1}
\end{vmatrix} = 1(-3-10) -2(-2-20) -1(4-12) = -13 + 44 + 8 = 39 \neq 0\)
Do đó rank(A) = 3.

Vì rank(A) = 3 < 4 nên A không khả nghịch, suy ra det(A) = 0. Khi đó, tất cả các phần bù đại số của các phần tử của ma trận A đều khác 0. Ma trận phụ hợp P_A có cấp 4x4, mọi phần tử khác 0, nên hạng của nó bằng 1.

Vậy hạng của ma trận phụ hợp P_A là 1.

Câu 5:

Tính hạng của ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&{ - 1}\\ 2&3&5&3\\ 4&7&2&6\\ {10}&{17}&9&{15} \end{array}} \right]\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm hạng của ma trận A, ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận về dạng bậc thang.

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2&{ - 1}\\
2&3&5&3\\
4&7&2&6\\
{10}&{17}&9&{15}
\end{array}} \right]\)

Thực hiện các phép biến đổi hàng:

H2 = H2 - 2*H1

H3 = H3 - 4*H1

H4 = H4 - 10*H1

Ta được:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2&{ - 1}\\
0&1&1&5\\
0&3&{ - 6}&{10}\\
0&7&{ - 11}&{25}
\end{array}} \right]\)

Tiếp tục thực hiện các phép biến đổi hàng:

H3 = H3 - 3*H2

H4 = H4 - 7*H2

Ta được:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2&{ - 1}\\
0&1&1&5\\
0&0&{ - 9}&{ - 5}\\
0&0&{ - 18}&{ - 10}
\end{array}} \right]\)

Tiếp tục thực hiện phép biến đổi hàng:

H4 = H4 - 2*H3

Ta được:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2&{ - 1}\\
0&1&1&5\\
0&0&{ - 9}&{ - 5}\\
0&0&0&0
\end{array}} \right]\)

Ma trận đã được đưa về dạng bậc thang và có 3 hàng khác 0. Vậy hạng của ma trận A là 3.

Câu 6:

Cho \(A \in {M_{3 \times 4}}\left[ R \right]\). Sử dụng phép biến đổi sơ cấp: Đổi chỗ cột 1 và cột 3 cho nhau. Phép biến đổi trên tương đương với nhân bên phải ma trận A cho ma trận nào sau đây.

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Elementary column operations on a matrix are equivalent to multiplying the matrix by a square matrix (with the same number of columns as the original matrix) from the right. This matrix is obtained by performing the corresponding transformation on the identity matrix. In this case, matrix A is 3x4, so the matrix we are looking for should be 4x4. The provided options are not 4x4 matrices. Therefore, all three statements are incorrect.

Câu 7:

Cho \(f(x) = {x^2} + 2x - 5;A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ { - 1}&2 \end{array}} \right]\). Tính f(A)?

Lời giải: