Đề thi kết thúc học phần Toán cao cấp có đáp án chi tiết - Đề 1

Câu hỏi yêu cầu tính toán ma trận nghịch đảo của ma trận A và ma trận nghịch đảo của ma trận chuyển vị của A. Bước 1: Tính định thức của ma trận A. Ma trận A được cho là A = $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 5 & 8 \end{bmatrix} $$ Định thức của A, ký hiệu là det(A), được tính như sau: det(A) = 1 * (3*8 - 3*5) - 2 * (1*8 - 3*2) + 2 * (1*5 - 3*2) = 1 * (24 - 15) - 2 * (8 - 6) + 2 * (5 - 6) = 1 * 9 - 2 * 2 + 2 * (-1) = 9 - 4 - 2 = 3 Vì det(A) = 3 ≠ 0, ma trận A có ma trận nghịch đảo. Bước 2: Tìm ma trận phụ hợp của A (adj(A)). Ma trận phụ hợp được tính bằng cách chuyển vị ma trận các định thức con đại số (cofactor matrix). Các định thức con (minors): - M₁₁ = det( $$ \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 5 & 8 \end{bmatrix} $$ ) = 3*8 - 3*5 = 24 - 15 = 9 - M₁₂ = det( $$ \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 8 \end{bmatrix} $$ ) = 1*8 - 3*2 = 8 - 6 = 2 - M₁₃ = det( $$ \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} $$ ) = 1*5 - 3*2 = 5 - 6 = -1 - M₂₁ = det( $$ \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 5 & 8 \end{bmatrix} $$ ) = 2*8 - 2*5 = 16 - 10 = 6 - M₂₂ = det( $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 8 \end{bmatrix} $$ ) = 1*8 - 2*2 = 8 - 4 = 4 - M₂₃ = det( $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} $$ ) = 1*5 - 2*2 = 5 - 4 = 1 - M₃₁ = det( $$ \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} $$ ) = 2*3 - 2*3 = 6 - 6 = 0 - M₃₂ = det( $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} $$ ) = 1*3 - 2*1 = 3 - 2 = 1 - M₃₃ = det( $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} $$ ) = 1*3 - 2*1 = 3 - 2 = 1 Các định thức con đại số (cofactors) Cᵢⱼ = (-1)ⁱ⁺ʲ * Mᵢⱼ: - C₁₁ = +9 - C₁₂ = -2 - C₁₃ = -1 - C₂₁ = -6 - C₂₂ = +4 - C₂₃ = -1 - C₃₁ = +0 - C₃₂ = -1 - C₃₃ = +1 Ma trận các định thức con đại số: $$ C = \begin{bmatrix} 9 & -2 & -1 \\ -6 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} $$ Ma trận phụ hợp là chuyển vị của ma trận các định thức con đại số: adj(A) = Cᵀ = $$ \begin{bmatrix} 9 & -6 & 0 \\ -2 & 4 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} $$ Bước 3: Tính ma trận nghịch đảo A⁻¹. A⁻¹ = (1/det(A)) * adj(A) = (1/3) * $$ \begin{bmatrix} 9 & -6 & 0 \\ -2 & 4 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} $$ A⁻¹ = $$ \begin{bmatrix} 9/3 & -6/3 & 0/3 \\ -2/3 & 4/3 & -1/3 \\ -1/3 & -1/3 & 1/3 \end{bmatrix} $$ A⁻¹ = $$ \begin{bmatrix} 3 & -2 & 0 \\ -2/3 & 4/3 & -1/3 \\ -1/3 & -1/3 & 1/3 \end{bmatrix} $$ Bước 4: Tính ma trận nghịch đảo của ma trận chuyển vị (Aᵀ)⁻¹. Chúng ta có thể sử dụng tính chất (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ. Ma trận chuyển vị của A, Aᵀ, là: Aᵀ = $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ 2 & 3 & 8 \end{bmatrix} $$ Bây giờ, chúng ta sẽ chuyển vị ma trận A⁻¹ để tìm (Aᵀ)⁻¹: (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ = $$ \begin{bmatrix} 3 & -2/3 & -1/3 \\ -2 & 4/3 & -1/3 \\ 0 & -1/3 & 1/3 \end{bmatrix} $$ Do đó, ma trận nghịch đảo của A là A⁻¹ và ma trận nghịch đảo của Aᵀ là (Aᵀ)⁻¹.

Câu hỏi yêu cầu tìm tổng cầu của từng ngành sản xuất dựa trên ma trận hệ số kỹ thuật (ma trận A) và ma trận cầu cuối cùng (ma trận B) trong mô hình Input-Output. Khái niệm cốt lõi: * Mô hình Input-Output: Là một mô hình kinh tế vĩ mô mô tả mối quan hệ giữa các ngành trong một nền kinh tế, cho biết lượng đầu ra của một ngành được sử dụng làm đầu vào cho các ngành khác và cho tiêu dùng cuối cùng. * Ma trận hệ số kỹ thuật (Ma trận A): Mỗi phần tử $a_{ij}$ trong ma trận A biểu thị lượng đơn vị đầu ra của ngành $j$ cần thiết để sản xuất ra một đơn vị đầu ra của ngành $i$. Trong bài toán này, $A = \begin{bmatrix} 0.3 & 0.2 \\ 0.2 & 0.4 \end{bmatrix}$. Điều này có nghĩa là: * Để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm ngành 1, cần 0.3 đơn vị sản phẩm ngành 1 và 0.2 đơn vị sản phẩm ngành 2. * Để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm ngành 2, cần 0.2 đơn vị sản phẩm ngành 1 và 0.4 đơn vị sản phẩm ngành 2. * Ma trận cầu cuối cùng (Ma trận B): Biểu thị nhu cầu của các ngành bên ngoài hệ thống (ví dụ: tiêu dùng hộ gia đình, chính phủ, xuất khẩu) đối với sản phẩm của từng ngành. Trong bài toán này, $B = \begin{bmatrix} 30 \\ 100 \end{bmatrix}$, nghĩa là nhu cầu cuối cùng đối với sản phẩm ngành 1 là 30 và đối với sản phẩm ngành 2 là 100. * Tổng cầu của từng ngành sản xuất (Ma trận X): Là tổng lượng sản phẩm mà mỗi ngành cần phải sản xuất ra để đáp ứng cả nhu cầu trung gian (đầu vào cho các ngành khác) và nhu cầu cuối cùng. Công thức trong mô hình Input-Output: Mối quan hệ giữa tổng cầu (X), hệ số kỹ thuật (A) và cầu cuối cùng (B) được biểu diễn qua phương trình: X = AX + B Trong đó: * X là ma trận cột biểu thị tổng cầu của từng ngành. * A là ma trận hệ số kỹ thuật. * B là ma trận cột biểu thị cầu cuối cùng. Để tìm X, ta biến đổi phương trình: X - AX = B (I - A)X = B Trong đó I là ma trận đơn vị cùng cấp với A. X = (I - A)^(-1) B Áp dụng vào bài toán: 1. Tính ma trận (I - A): $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ $I - A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0.3 & 0.2 \\ 0.2 & 0.4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-0.3 & 0-0.2 \\ 0-0.2 & 1-0.4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.7 & -0.2 \\ -0.2 & 0.6 \end{bmatrix}$ 2. Tính định thức của (I - A): $det(I - A) = (0.7)(0.6) - (-0.2)(-0.2) = 0.42 - 0.04 = 0.38$ 3. Tính ma trận nghịch đảo của (I - A), ký hiệu là (I - A)^(-1): Đối với ma trận $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$, ma trận nghịch đảo là $M^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$. $(I - A)^{-1} = \frac{1}{0.38} \begin{bmatrix} 0.6 & -(-0.2) \\ -(-0.2) & 0.7 \end{bmatrix} = \frac{1}{0.38} \begin{bmatrix} 0.6 & 0.2 \\ 0.2 & 0.7 \end{bmatrix}$ 4. Tính X = (I - A)^(-1) B: $X = \frac{1}{0.38} \begin{bmatrix} 0.6 & 0.2 \\ 0.2 & 0.7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 30 \\ 100 \end{bmatrix}$ Thực hiện phép nhân ma trận: * Phần tử đầu tiên của X: $(0.6)(30) + (0.2)(100) = 18 + 20 = 38$ * Phần tử thứ hai của X: $(0.2)(30) + (0.7)(100) = 6 + 70 = 76$ Vậy, $X = \frac{1}{0.38} \begin{bmatrix} 38 \\ 76 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{38}{0.38} \\ \frac{76}{0.38} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 100 \\ 200 \end{bmatrix}$ Kết luận: Tổng cầu của ngành sản xuất thứ nhất là 100 đơn vị. Tổng cầu của ngành sản xuất thứ hai là 200 đơn vị. Do câu hỏi trắc nghiệm không cung cấp các lựa chọn để chọn đáp án đúng, nên không thể xác định "answer_iscorrect". Tuy nhiên, nếu đây là một câu hỏi tự luận cần điền kết quả, thì kết quả là "Ngành 1: 100, Ngành 2: 200". Nếu có các lựa chọn như: 1. Ngành 1: 30, Ngành 2: 100 2. Ngành 1: 100, Ngành 2: 200 3. Ngành 1: 100, Ngành 2: 100 4. Ngành 1: 30, Ngành 2: 200 Thì đáp án đúng sẽ là 2.