Cho hàm tổng chi phí TC = Q3 – 120Q2 + 14Q (Q>0).
a) Tính hệ số co giãn của TC theo Q.
b) Tìm mức sản lượng Q để chi phí bình quân \[ AC = \frac{TC}{Q} \] đạt giá trị nhỏ nhất
Trả lời:
Đáp án đúng:
Câu hỏi yêu cầu tính hệ số co giãn của tổng chi phí (TC) theo sản lượng (Q) và tìm mức sản lượng Q để chi phí bình quân (AC) đạt giá trị nhỏ nhất.
**Phần a) Tính hệ số co giãn của TC theo Q:**
Định nghĩa hệ số co giãn của TC theo Q là: $E_{TC,Q} = \frac{\partial TC}{\partial Q} \times \frac{Q}{TC}$.
Ta có hàm tổng chi phí $TC = Q^3 – 120Q^2 + 14Q$.
Đạo hàm của TC theo Q là: $\frac{\partial TC}{\partial Q} = 3Q^2 - 240Q + 14$.
Thay vào công thức co giãn: $E_{TC,Q} = (3Q^2 - 240Q + 14) \times \frac{Q}{Q^3 – 120Q^2 + 14Q}$.
$E_{TC,Q} = \frac{3Q^3 - 240Q^2 + 14Q}{Q^3 – 120Q^2 + 14Q}$.
Có thể rút gọn Q ở tử và mẫu (với Q > 0): $E_{TC,Q} = \frac{3Q^2 - 240Q + 14}{Q^2 – 120Q + 14}$.
**Phần b) Tìm mức sản lượng Q để chi phí bình quân AC đạt giá trị nhỏ nhất:**
Chi phí bình quân được tính bằng $AC = \frac{TC}{Q}$.
Thay hàm TC vào: $AC = \frac{Q^3 – 120Q^2 + 14Q}{Q}$.
Rút gọn Q (với Q > 0): $AC = Q^2 – 120Q + 14$.
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm AC, ta lấy đạo hàm của AC theo Q và cho bằng 0:
$\frac{\partial AC}{\partial Q} = 2Q - 120$.
Cho $\frac{\partial AC}{\partial Q} = 0 \Rightarrow 2Q - 120 = 0 \Rightarrow 2Q = 120 \Rightarrow Q = 60$.
Để xác nhận đây là điểm cực tiểu, ta xét đạo hàm bậc hai:
$\frac{\partial^2 AC}{\partial Q^2} = 2$.
Vì đạo hàm bậc hai dương (2 > 0), nên tại $Q = 60$, hàm AC đạt giá trị nhỏ nhất.
Kết luận: Mức sản lượng Q để chi phí bình quân đạt giá trị nhỏ nhất là 60.
This is exam paper No. 1 for the Higher Mathematics End-of-Course Exam from Foreign Trade University, held on 11/01/2022. It features problems on matrix operations, input-output models, cost function analysis, utility maximization, and production optimization, for the 2021-2022 academic year, allowing the use of study materials.
6 câu hỏi 60 phút
