450+ câu trắc nghiệm Xác suất thống kê có đáp án

Câu 1:

Trong hộp bi có 6 viên đỏ và 4 viên đen (cùng kích cỡ). Rút ra ngẫu nhiên 2 viên bi. Xác suất để trong 2 viên bi rút ra có ít nhất 1 viên đỏ.

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tính xác suất có ít nhất 1 viên bi đỏ, ta có thể tính xác suất của biến cố đối, tức là không có viên bi đỏ nào (tức là cả 2 viên đều đen), rồi lấy 1 trừ đi xác suất đó.

Tổng số bi là 6 + 4 = 10.
Số cách chọn 2 viên bi từ 10 viên là C(10, 2) = 10! / (2! * 8!) = (10 * 9) / (2 * 1) = 45.
Số cách chọn 2 viên bi đen từ 4 viên đen là C(4, 2) = 4! / (2! * 2!) = (4 * 3) / (2 * 1) = 6.

Xác suất để cả 2 viên đều đen là P(cả 2 đen) = số cách chọn 2 viên đen / tổng số cách chọn 2 viên = 6 / 45 = 2 / 15.

Xác suất để có ít nhất 1 viên đỏ là P(ít nhất 1 đỏ) = 1 - P(cả 2 đen) = 1 - (2 / 15) = 13 / 15.

Vậy, xác suất để trong 2 viên bi rút ra có ít nhất 1 viên đỏ là 13/15.

Câu 2:

Một nhóm gồm 5 người ngồi trên một ghế dài. Xác suất để 2 người xác định trước luôn ngồi cạnh nhau.

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Gọi A và B là hai người được xác định trước. Ta xem A và B như một phần tử, khi đó có 4 phần tử cần sắp xếp trên ghế dài, có 4! cách sắp xếp. Với mỗi cách sắp xếp này, A và B có thể đổi chỗ cho nhau nên có 2! cách sắp xếp A và B. Vậy có tất cả 4! * 2! cách sắp xếp để A và B ngồi cạnh nhau.

Tổng số cách xếp 5 người lên ghế dài là 5!.

Vậy xác suất để A và B ngồi cạnh nhau là:

P = (4! * 2!) / 5! = (24 * 2) / 120 = 48 / 120 = 2 / 5 = 0,4.

Câu 3:

Một hộp có 9 bi trong đó có 3 bi đỏ, được chia thành 3 phần bằng nhau. Xác suất để mỗi phần đều có bi đỏ.

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Gọi A là biến cố "Mỗi phần đều có 1 bi đỏ".
Ta có không gian mẫu là số cách chia 9 bi thành 3 phần bằng nhau, mỗi phần 3 bi. Số cách này là:
$\Omega = C_9^3 * C_6^3 * C_3^3 / 3! = \frac{9!}{3!3!3!3!} = 280$
Để mỗi phần có 1 bi đỏ, ta chia 3 bi đỏ vào 3 phần, mỗi phần 1 bi. Số cách chia là:
$C_3^1 * C_2^1 * C_1^1 = 3! = 6$ (hoặc đơn giản là có 3! cách xếp 3 bi đỏ vào 3 phần).
Sau khi chia xong bi đỏ, ta chia 6 bi còn lại vào 3 phần, mỗi phần 2 bi. Số cách chia là:
$C_6^2 * C_4^2 * C_2^2 / 3! = \frac{6!}{2!2!2!3!} = 15$
Vậy số kết quả thuận lợi cho A là:
$|A| = 3! * \frac{6!}{2!2!2!3!} = 6 * 15 = 90$
Vậy xác suất để mỗi phần đều có bi đỏ là:
$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{90}{280} = \frac{9}{28}$

Tuy nhiên, cách giải trên có một số điểm cần xem xét lại. Việc chia thành 3 phần bằng nhau có thể hiểu là chia thành 3 phần phân biệt (ví dụ, 3 hộp khác nhau) hoặc 3 phần không phân biệt. Trong trường hợp này, dường như đề bài ngụ ý chia thành 3 phần không phân biệt, vì nếu chia thành 3 phần phân biệt thì không gian mẫu sẽ là $C_9^3 C_6^3 C_3^3 = 1680$, và số kết quả thuận lợi là $3! C_6^2 C_4^2 C_2^2 = 540$, và xác suất vẫn là $\frac{540}{1680} = \frac{9}{28}$.

Cách 2: Tính xác suất có điều kiện
Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi cho phần thứ nhất. Xác suất để phần này có 1 bi đỏ là: $P_1 = \frac{C_3^1 C_6^2}{C_9^3} = \frac{3 * 15}{84} = \frac{15}{28}$
Sau khi chọn xong phần thứ nhất, còn lại 6 bi, trong đó có 2 bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi cho phần thứ hai. Xác suất để phần này có 1 bi đỏ là: $P_2 = \frac{C_2^1 C_4^2}{C_6^3} = \frac{2 * 6}{20} = \frac{3}{5}$
Phần còn lại chắc chắn có 1 bi đỏ.
Vậy xác suất cần tìm là: $P = P_1 * P_2 = \frac{15}{28} * \frac{3}{5} = \frac{9}{28}$

Câu 4:

Từ các số 2, 3, 4, 5, 6. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để lập một số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau từ 5 số đã cho, ta thực hiện như sau:

* Chọn chữ số hàng trăm: Có 5 cách chọn (2, 3, 4, 5, 6).
* Chọn chữ số hàng chục: Vì các chữ số phải khác nhau và một chữ số đã được chọn cho hàng trăm, nên còn lại 4 cách chọn.
* Chọn chữ số hàng đơn vị: Vì các chữ số phải khác nhau và hai chữ số đã được chọn cho hàng trăm và hàng chục, nên còn lại 3 cách chọn.

Vậy, tổng số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau có thể lập được là: 5 * 4 * 3 = 60 số.

Vậy đáp án đúng là 60

Câu 5:

Từ các số: 0,1,2, 3, 4, 5, 6,7,8,9. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Số tự nhiên có hai chữ số có dạng $\overline{ab}$, trong đó a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị. * Chữ số a có thể là bất kỳ chữ số nào từ 1 đến 9 (vì nếu a=0 thì số đó chỉ có một chữ số), vậy có 9 cách chọn a. * Chữ số b có thể là bất kỳ chữ số nào từ 0 đến 9, vậy có 10 cách chọn b. Vậy, theo quy tắc nhân, có tổng cộng 9 * 10 = 90 số tự nhiên có hai chữ số.

Câu 6:

Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 5?

Lời giải: