Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu, mỗi câu có 4 cách trả lời trong đó chỉ có 1 cách trả lời đúng. Một thí sinh chọn cách trả lời một cách ngẫu nhiên. Xác suất để người này thi đạt, biết rằng để thi đạt phải trả:

Xác suất để 1 con gà đẻ là 0,6. Trong chuồng có 6 con, xác suất để trong một ngày có ít nhất 1 con gà đẻ:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Gọi X là số con gà đẻ trứng trong một ngày. X tuân theo phân phối nhị thức với n = 6 và p = 0,6.

Ta cần tính xác suất để có ít nhất 1 con gà đẻ, tức là P(X ≥ 1).

Ta có thể tính P(X ≥ 1) bằng cách sử dụng biến cố đối: P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0).

P(X = 0) là xác suất không có con gà nào đẻ trứng, tức là tất cả 6 con đều không đẻ. Xác suất một con gà không đẻ là 1 - 0,6 = 0,4.

Vậy, P(X = 0) = (0,4)^6 = 0,004096.

Do đó, P(X ≥ 1) = 1 - 0,004096 = 0,995904.

Vậy xác suất để trong một ngày có ít nhất 1 con gà đẻ là 0,9959.

Câu 9:

Gieo 6 lần một đồng xu cân đối đồng chất. Xác suất để có đúng 4 lần mặt ngửa:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Đây là bài toán về phép thử Bernoulli. Mỗi lần gieo đồng xu là một phép thử Bernoulli với xác suất thành công (mặt ngửa) là p = 1/2 và xác suất thất bại (mặt sấp) là q = 1/2. Ta gieo 6 lần, vậy n = 6. Ta muốn tìm xác suất để có đúng 4 lần mặt ngửa, tức là k = 4. Công thức tính xác suất trong phép thử Bernoulli là: P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k), trong đó C(n, k) là tổ hợp chập k của n. Trong trường hợp này, ta có: P(X = 4) = C(6, 4) * (1/2)^4 * (1/2)^(6-4) = C(6, 4) * (1/2)^4 * (1/2)^2. Tổ hợp chập 4 của 6 là: C(6, 4) = 6! / (4! * 2!) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15. Vậy, P(X = 4) = 15 * (1/16) * (1/4) = 15 / 64.

Câu 10:

Ngân hàng đề thi có 10 đề khó và 20 đề trung bình. Bốc ra 4 đề cho sinh viên thi học kì. Xác suất để được ít nhất 1 đề trung bình:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Gọi A là biến cố "bốc được ít nhất 1 đề trung bình". Khi đó, để tính P(A), ta có thể tính gián tiếp thông qua biến cố đối đã xảy ra, gọi A ngang là biến cố "bốc được toàn đề khó".

Tổng số đề: 10 (khó) + 20 (trung bình) = 30 đề.

Số cách bốc 4 đề từ 30 đề là: C(4, 30) = 30! / (4! * 26!) = (30 * 29 * 28 * 27) / (4 * 3 * 2 * 1) = 27405

Số cách bốc 4 đề khó từ 10 đề khó là: C(4, 10) = 10! / (4! * 6!) = (10 * 9 * 8 * 7) / (4 * 3 * 2 * 1) = 210

Vậy, P(A ngang) = C(4, 10) / C(4, 30) = 210 / 27405 = 14 / 1827 ≈ 0.00766

Do đó, P(A) = 1 - P(A ngang) = 1 - 14/1827 = 1813/1827 ≈ 0.9923

Vậy xác suất để bốc được ít nhất 1 đề trung bình là 0.9923.

Câu 11:

Trong một kỳ thi, mỗi sinh viên phải thi 2 môn. Một sinh viên A ước lượng rằng: xác suất đạt môn thứ nhất là 0,8. Nếu đạt môn thứ nhất thì xác suất đạt môn thứ hai là 0,6; nếu không đạt môn thứ nhất thì xác suất đạt môn thứ hai là 0,3. Thì xác suất để sinh viên A đạt môn thứ hai là:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Gọi A là biến cố sinh viên đạt môn thứ nhất, B là biến cố sinh viên đạt môn thứ hai. Ta có:
P(A) = 0,8
P(B|A) = 0,6
P(B|¬A) = 0,3
Ta cần tính P(B).
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|¬A) * P(¬A)
Ta có P(¬A) = 1 - P(A) = 1 - 0,8 = 0,2
Vậy P(B) = 0,6 * 0,8 + 0,3 * 0,2 = 0,48 + 0,06 = 0,54

Câu 12:

Ba sinh viên cùng làm bài thi. Xác suất làm được bài của sinh viên A là 0,8; của sinh viên B là 0,7; của sinh viên C là 0,6. Thì xác suất để có đúng 2 sinh viên làm được bài là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố sinh viên A, B, C làm được bài.
Ta có P(A) = 0.8, P(B) = 0.7, P(C) = 0.6.
Vậy P(¬A) = 0.2, P(¬B) = 0.3, P(¬C) = 0.4
Để có đúng 2 sinh viên làm được bài, ta có các trường hợp sau:
1. A và B làm được, C không làm được: P(A ∩ B ∩ ¬C) = P(A) * P(B) * P(¬C) = 0.8 * 0.7 * 0.4 = 0.224
2. A và C làm được, B không làm được: P(A ∩ ¬B ∩ C) = P(A) * P(¬B) * P(C) = 0.8 * 0.3 * 0.6 = 0.144
3. B và C làm được, A không làm được: P(¬A ∩ B ∩ C) = P(¬A) * P(B) * P(C) = 0.2 * 0.7 * 0.6 = 0.084
Xác suất để có đúng 2 sinh viên làm được bài là:
P = P(A ∩ B ∩ ¬C) + P(A ∩ ¬B ∩ C) + P(¬A ∩ B ∩ C) = 0.224 + 0.144 + 0.084 = 0.452

Câu 13:

Có 3 hộp, mỗi hộp đựng 5 viên bi, trong đó hộp thứ nhất có 1 bi trắng; hộp thứ hai có 2 bi trắng; hộp thứ ba có 3 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi. Thì xác suất để lấy được 3 bi trắng là:

Lời giải: