Một thùng bia có 24 chai trong đó để lẫn 3 chai quá hạn sử dụng. Chọn ngẫu nhiên từ thùng đó ra 4 chai bia. Xác suất chọn phải ít nhất 1 chai bia quá hạn sử dụng là:

Để xác định xem có sự khác biệt đáng kể giữa chiều cao trung bình của nhóm trẻ và chiều cao chuẩn hay không, chúng ta cần thực hiện kiểm định giả thuyết. Trong trường hợp này, chúng ta có thể sử dụng kiểm định t một mẫu (one-sample t-test) vì chúng ta đang so sánh trung bình của một mẫu với một giá trị chuẩn đã biết.

Giả thuyết không (H0): Chiều cao trung bình của nhóm trẻ bằng chiều cao chuẩn (μ = 86.5cm).
Giả thuyết đối (H1): Chiều cao trung bình của nhóm trẻ khác chiều cao chuẩn (μ ≠ 86.5cm).

Công thức tính t:
t = (x̄ - μ) / (s / √n)
Trong đó:
x̄ = 81.1cm (chiều cao trung bình của nhóm trẻ)
μ = 86.5cm (chiều cao chuẩn)
s = 3.11cm (độ lệch chuẩn của mẫu)
n = 24 (kích thước mẫu)

t = (81.1 - 86.5) / (3.11 / √24) = -5.4 / (3.11 / 4.899) = -5.4 / 0.6348 = -8.506

Bậc tự do (df) = n - 1 = 24 - 1 = 23

Mức ý nghĩa α = 0.01 (1%)

Với mức ý nghĩa 1% và 23 bậc tự do, giá trị t tới hạn (t critical) cho kiểm định hai phía (two-tailed test) là khoảng ±2.807 (có thể tra bảng phân phối t hoặc sử dụng phần mềm thống kê).

Vì giá trị t tính được (-8.506) nằm ngoài khoảng giá trị t tới hạn (-2.807 đến 2.807), chúng ta bác bỏ giả thuyết không. Điều này có nghĩa là có sự khác biệt đáng kể giữa chiều cao trung bình của nhóm trẻ và chiều cao chuẩn.

Vì 81.1cm < 86.5cm, chiều cao của nhóm trẻ thấp hơn chuẩn đáng kể.

Vậy, câu trả lời đúng nhất là "Có sự khác biệt đáng kể", vì kết quả kiểm định cho thấy có sự khác biệt và câu "Chiều cao của nhóm trẻ thấp hơn chuẩn" cũng đúng nhưng không bao quát hết ý của câu hỏi.

Câu hỏi này liên quan đến kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình của một quần thể. Khi ta có \(\left| {\overline X - {\mu _0}} \right| > K > 0\), điều này có nghĩa là giá trị trung bình mẫu \(\overline X \) khác biệt đáng kể so với giá trị trung bình giả thuyết \({\mu _0}\). Trong kiểm định giả thuyết, nếu sự khác biệt này đủ lớn (vượt quá một ngưỡng K nào đó), ta sẽ bác bỏ giả thuyết H₀. Do đó, phương án đúng nhất là "Bác bỏ giả thuyết H₀".

Công thức đường hồi quy tuyến tính của Y theo X có dạng: y = a + bx
Trong đó:
b = (n*ΣXY - ΣX*ΣY) / (n*ΣX^2 - (ΣX)^2) = (ΣXY/n - ΣX/n * ΣY/n) / (ΣX^2/n - (ΣX/n)^2) = (\(\overline {XY} - \overline X .\overline Y \))/( \(\overline {{X^2}} - {(\overline X )^2}\))
a = \(\overline Y \) - b*\(\overline X \)
Thay số:
b = (321.25 - 85*4.5) / (7750 - 85^2) = (321.25 - 382.5) / (7750 - 7225) = -61.25 / 525 = -0.116666... ≈ -0.117
a = 4.5 - (-0.117) * 85 = 4.5 + 9.945 = 14.445 ≈ 14.417 (Sai số do làm tròn b)
Vậy phương trình đường hồi quy tuyến tính là: y = -0.117x + 14.417

Để tính xác suất có ít nhất 1 viên bi đỏ, ta có thể tính xác suất của biến cố đối, tức là không có viên bi đỏ nào (tức là cả 2 viên đều đen), rồi lấy 1 trừ đi xác suất đó.

Tổng số bi là 6 + 4 = 10.
Số cách chọn 2 viên bi từ 10 viên là C(10, 2) = 10! / (2! * 8!) = (10 * 9) / (2 * 1) = 45.
Số cách chọn 2 viên bi đen từ 4 viên đen là C(4, 2) = 4! / (2! * 2!) = (4 * 3) / (2 * 1) = 6.

Xác suất để cả 2 viên đều đen là P(cả 2 đen) = số cách chọn 2 viên đen / tổng số cách chọn 2 viên = 6 / 45 = 2 / 15.

Xác suất để có ít nhất 1 viên đỏ là P(ít nhất 1 đỏ) = 1 - P(cả 2 đen) = 1 - (2 / 15) = 13 / 15.

Vậy, xác suất để trong 2 viên bi rút ra có ít nhất 1 viên đỏ là 13/15.

Gọi A và B là hai người xác định trước. Ta xem A và B như một phần tử, vậy có 4 phần tử cần sắp xếp: (AB), C, D, E. Có 4! cách sắp xếp. Tuy nhiên, A và B có thể đổi chỗ cho nhau nên có 2! cách sắp xếp A và B. Vậy có tất cả 4! * 2! = 24 * 2 = 48 cách sắp xếp để A và B ngồi cạnh nhau. Tổng số cách xếp 5 người vào ghế là 5! = 120. Vậy xác suất để A và B ngồi cạnh nhau là 48/120 = 2/5 = 0.4.