Chiều cao trung bình của 24 trẻ em 2 tuổi là 81,1cm với S = 3,11cm. Chiều cao chuẩn của trẻ em 2 tuổi trong vùng là 86,5cm. Với mức ý nghĩa 1% có sự khác biệt đáng kể của chiều cao nhóm trẻ so với chuẩn không:

Câu hỏi này liên quan đến kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình của một quần thể. Khi ta có \(\left| {\overline X - {\mu _0}} \right| > K > 0\), điều này có nghĩa là giá trị trung bình mẫu \(\overline X \) khác biệt đáng kể so với giá trị trung bình giả thuyết \({\mu _0}\). Trong kiểm định giả thuyết, nếu sự khác biệt này đủ lớn (vượt quá một ngưỡng K nào đó), ta sẽ bác bỏ giả thuyết H₀. Do đó, phương án đúng nhất là "Bác bỏ giả thuyết H₀".

Công thức đường hồi quy tuyến tính của Y theo X có dạng: y = a + bx
Trong đó:
b = (n*ΣXY - ΣX*ΣY) / (n*ΣX^2 - (ΣX)^2) = (ΣXY/n - ΣX/n * ΣY/n) / (ΣX^2/n - (ΣX/n)^2) = (\(\overline {XY} - \overline X .\overline Y \))/( \(\overline {{X^2}} - {(\overline X )^2}\))
a = \(\overline Y \) - b*\(\overline X \)
Thay số:
b = (321.25 - 85*4.5) / (7750 - 85^2) = (321.25 - 382.5) / (7750 - 7225) = -61.25 / 525 = -0.116666... ≈ -0.117
a = 4.5 - (-0.117) * 85 = 4.5 + 9.945 = 14.445 ≈ 14.417 (Sai số do làm tròn b)
Vậy phương trình đường hồi quy tuyến tính là: y = -0.117x + 14.417

Để tính xác suất có ít nhất 1 viên bi đỏ, ta có thể tính xác suất của biến cố đối, tức là không có viên bi đỏ nào (tức là cả 2 viên đều đen), rồi lấy 1 trừ đi xác suất đó.

Tổng số bi là 6 + 4 = 10.
Số cách chọn 2 viên bi từ 10 viên là C(10, 2) = 10! / (2! * 8!) = (10 * 9) / (2 * 1) = 45.
Số cách chọn 2 viên bi đen từ 4 viên đen là C(4, 2) = 4! / (2! * 2!) = (4 * 3) / (2 * 1) = 6.

Xác suất để cả 2 viên đều đen là P(cả 2 đen) = số cách chọn 2 viên đen / tổng số cách chọn 2 viên = 6 / 45 = 2 / 15.

Xác suất để có ít nhất 1 viên đỏ là P(ít nhất 1 đỏ) = 1 - P(cả 2 đen) = 1 - (2 / 15) = 13 / 15.

Vậy, xác suất để trong 2 viên bi rút ra có ít nhất 1 viên đỏ là 13/15.

Gọi A và B là hai người xác định trước. Ta xem A và B như một phần tử, vậy có 4 phần tử cần sắp xếp: (AB), C, D, E. Có 4! cách sắp xếp. Tuy nhiên, A và B có thể đổi chỗ cho nhau nên có 2! cách sắp xếp A và B. Vậy có tất cả 4! * 2! = 24 * 2 = 48 cách sắp xếp để A và B ngồi cạnh nhau. Tổng số cách xếp 5 người vào ghế là 5! = 120. Vậy xác suất để A và B ngồi cạnh nhau là 48/120 = 2/5 = 0.4.

Gọi A là biến cố "Mỗi phần đều có 1 bi đỏ".
Ta có không gian mẫu là số cách chia 9 bi thành 3 phần bằng nhau, mỗi phần 3 bi. Số cách này là:
$\Omega = C_9^3 * C_6^3 * C_3^3 / 3! = \frac{9!}{3!3!3!3!} = 280$
Để mỗi phần có 1 bi đỏ, ta chia 3 bi đỏ vào 3 phần, mỗi phần 1 bi. Số cách chia là:
$C_3^1 * C_2^1 * C_1^1 = 3! = 6$ (hoặc đơn giản là có 3! cách xếp 3 bi đỏ vào 3 phần).
Sau khi chia xong bi đỏ, ta chia 6 bi còn lại vào 3 phần, mỗi phần 2 bi. Số cách chia là:
$C_6^2 * C_4^2 * C_2^2 / 3! = \frac{6!}{2!2!2!3!} = 15$
Vậy số kết quả thuận lợi cho A là:
$|A| = 3! * \frac{6!}{2!2!2!3!} = 6 * 15 = 90$
Vậy xác suất để mỗi phần đều có bi đỏ là:
$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{90}{280} = \frac{9}{28}$

Tuy nhiên, cách giải trên có một số điểm cần xem xét lại. Việc chia thành 3 phần bằng nhau có thể hiểu là chia thành 3 phần phân biệt (ví dụ, 3 hộp khác nhau) hoặc 3 phần không phân biệt. Trong trường hợp này, dường như đề bài ngụ ý chia thành 3 phần không phân biệt, vì nếu chia thành 3 phần phân biệt thì không gian mẫu sẽ là $C_9^3 C_6^3 C_3^3 = 1680$, và số kết quả thuận lợi là $3! C_6^2 C_4^2 C_2^2 = 540$, và xác suất vẫn là $\frac{540}{1680} = \frac{9}{28}$.

Cách 2: Tính xác suất có điều kiện
Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi cho phần thứ nhất. Xác suất để phần này có 1 bi đỏ là: $P_1 = \frac{C_3^1 C_6^2}{C_9^3} = \frac{3 * 15}{84} = \frac{15}{28}$
Sau khi chọn xong phần thứ nhất, còn lại 6 bi, trong đó có 2 bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi cho phần thứ hai. Xác suất để phần này có 1 bi đỏ là: $P_2 = \frac{C_2^1 C_4^2}{C_6^3} = \frac{2 * 6}{20} = \frac{3}{5}$
Phần còn lại chắc chắn có 1 bi đỏ.
Vậy xác suất cần tìm là: $P = P_1 * P_2 = \frac{15}{28} * \frac{3}{5} = \frac{9}{28}$