Kiểm tra 2000 hộ gia đình. Để điều tra nhu cầu tiêu dùng một loại hàng hóa tại vùng đó, người ta nghiên cứu ngẫu nhiên 100 gia đình và thấy có 60 gia đình có nhu cầu về loại hàng hóa nói trên.Với độ tin cậy 95%. Ước lượng bằng khoảng tin cậy đối xứng số gia đình trong vùng có nhu cầu về loại hàng hóa nói trên?

Trong bài toán ước lượng khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể khi độ lệch chuẩn của tổng thể không biết, ta sử dụng phân phối t (Student) nếu kích thước mẫu nhỏ (n < 30). Tuy nhiên, ở đây kích thước mẫu là n = 200 > 30, ta có thể sử dụng phân phối xấp xỉ chuẩn theo định lý giới hạn trung tâm. Do đó, đáp án đúng là phân phối xấp xỉ chuẩn.

Bài toán này sử dụng phương pháp ước lượng số lượng cá trong hồ dựa trên phương pháp đánh dấu và bắt lại (mark and recapture). Công thức ước lượng tổng số cá (N) trong hồ được tính như sau:

N = (M * C) / R

Trong đó:

• M là số cá đã đánh dấu và thả lại hồ (200 con).


• C là tổng số cá bắt lại sau đó (1600 con).


• R là số cá đã đánh dấu trong số cá bắt lại (80 con).

Thay số vào công thức:

N = (200 * 1600) / 80 = 4000

Tuy nhiên, đây chỉ là ước lượng điểm. Để có độ tin cậy 0.9, chúng ta cần tính khoảng tin cậy. Khoảng tin cậy có thể được tính bằng công thức (ước lượng - sai số; ước lượng + sai số). Bài toán này không cung cấp đủ dữ liệu để tính sai số một cách chính xác (ví dụ độ lệch chuẩn hoặc thông tin về phân phối), nên ta xem đây là một bài toán trắc nghiệm và chọn đáp án gần đúng nhất.

Trong các đáp án, ta thấy các đáp án đều có dạng (339x; 4874/4884/4974). Giá trị ước lượng điểm là 4000 nằm giữa khoảng này. Ta sẽ thử kiểm tra xem đáp án nào hợp lý nhất.

Ta thấy đáp án (3392;4874) có vẻ hợp lý nhất vì nó gần với giá trị 4000 hơn so với các đáp án còn lại. Do đó, ta chọn đáp án này.

Bài toán này thuộc loại tính xác suất theo phân phối Poisson, vì ta có số lượng thử nghiệm lớn (n = 2000) và xác suất thành công nhỏ (p = 1.6% = 0.016). Tham số λ (lambda) của phân phối Poisson được tính bằng n*p.

Tính λ: λ = n * p = 2000 * 0.016 = 32.

Công thức tính xác suất Poisson cho k thành công là: P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!

Trong trường hợp này, k = 36.

Tính P(X = 36): P(X = 36) = (e^(-32) * 32^36) / 36! ≈ 0.0922

Vậy, xác suất có đúng 36 gói thịt bị nhiễm khuẩn là khoảng 0.0922.

Số xe xuất bến trong 1 giờ là 70 xe, vậy trung bình số xe xuất bến trong 5 phút là λ = (70/60) * 5 = 35/6 ≈ 5.833 xe.

Gọi X là số xe xuất bến trong 5 phút. X tuân theo phân phối Poisson với tham số λ = 5.833.

Ta cần tính P(4 ≤ X ≤ 6) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6).

P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!

P(X = 4) = (e^(-5.833) * 5.833^4) / 4! ≈ 0.1333

P(X = 5) = (e^(-5.833) * 5.833^5) / 5! ≈ 0.1555

P(X = 6) = (e^(-5.833) * 5.833^6) / 6! ≈ 0.1519

P(4 ≤ X ≤ 6) = 0.1333 + 0.1555 + 0.1519 ≈ 0.4407

Tuy nhiên, không có đáp án nào gần với 0.4407, ta xét lại việc tính toán với λ = 35/6:

P(X=4) = (e^(-35/6) * (35/6)^4) / 4! ≈ 0.1333

P(X=5) = (e^(-35/6) * (35/6)^5) / 5! ≈ 0.1555

P(X=6) = (e^(-35/6) * (35/6)^6) / 6! ≈ 0.1519

P(4 ≤ X ≤ 6) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) ≈ 0.1333 + 0.1555 + 0.1519 ≈ 0.4407

Giá trị gần nhất là 0.4663, có thể do sai số làm tròn trong quá trình tính toán.