Hai người cùng bắn vào một tấm bia.A là biến cố người thứ 1 bắn trúng B là biến cố người thứ 2 bắn trúng A, B có quan hệ gì?

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định các thông số đã cho:

• Tổng số hộ gia đình: N = 2000


• Số hộ gia đình được khảo sát: n = 100


• Số hộ gia đình có nhu cầu trong mẫu: x = 60


• Tỷ lệ mẫu: p = x/n = 60/100 = 0.6


• Độ tin cậy: 95% => α = 1 - 0.95 = 0.05 => α/2 = 0.025


• Giá trị z tương ứng với α/2 = 0.025 là z_0.025 = 1.96

2. Tính sai số biên (Margin of Error):

Vì đây là ước lượng cho một quần thể hữu hạn, ta sử dụng công thức sau:

E = z_(α/2) * sqrt((p * (1 - p) / n) * ((N - n) / (N - 1)))

E = 1.96 * sqrt((0.6 * 0.4 / 100) * ((2000 - 100) / 1999))

E = 1.96 * sqrt((0.0024) * (1900 / 1999))

E = 1.96 * sqrt(0.0024 * 0.9505)

E = 1.96 * sqrt(0.0022812)

E ≈ 1.96 * 0.04776

E ≈ 0.0936

3. Tính khoảng tin cậy cho tỷ lệ:

(p - E ; p + E) = (0.6 - 0.0936 ; 0.6 + 0.0936) = (0.5064 ; 0.6936)

4. Ước lượng số gia đình trong vùng có nhu cầu:

Nhân khoảng tin cậy vừa tính được với tổng số hộ gia đình N = 2000:

(0.5064 * 2000 ; 0.6936 * 2000) = (1012.8 ; 1387.2)

Làm tròn số, ta có khoảng (1013; 1387).

Trong các đáp án, đáp án (1008;1392) gần đúng nhất, có thể do sai số làm tròn trong quá trình tính toán.

Trong bài toán ước lượng khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể khi độ lệch chuẩn của tổng thể không biết, ta sử dụng phân phối t (Student) nếu kích thước mẫu nhỏ (n < 30). Tuy nhiên, ở đây kích thước mẫu là n = 200 > 30, ta có thể sử dụng phân phối xấp xỉ chuẩn theo định lý giới hạn trung tâm. Do đó, đáp án đúng là phân phối xấp xỉ chuẩn.

Bài toán này sử dụng phương pháp ước lượng số lượng cá trong hồ dựa trên phương pháp đánh dấu và bắt lại (mark and recapture). Công thức ước lượng tổng số cá (N) trong hồ được tính như sau:

N = (M * C) / R

Trong đó:

• M là số cá đã đánh dấu và thả lại hồ (200 con).


• C là tổng số cá bắt lại sau đó (1600 con).


• R là số cá đã đánh dấu trong số cá bắt lại (80 con).

Thay số vào công thức:

N = (200 * 1600) / 80 = 4000

Tuy nhiên, đây chỉ là ước lượng điểm. Để có độ tin cậy 0.9, chúng ta cần tính khoảng tin cậy. Khoảng tin cậy có thể được tính bằng công thức (ước lượng - sai số; ước lượng + sai số). Bài toán này không cung cấp đủ dữ liệu để tính sai số một cách chính xác (ví dụ độ lệch chuẩn hoặc thông tin về phân phối), nên ta xem đây là một bài toán trắc nghiệm và chọn đáp án gần đúng nhất.

Trong các đáp án, ta thấy các đáp án đều có dạng (339x; 4874/4884/4974). Giá trị ước lượng điểm là 4000 nằm giữa khoảng này. Ta sẽ thử kiểm tra xem đáp án nào hợp lý nhất.

Ta thấy đáp án (3392;4874) có vẻ hợp lý nhất vì nó gần với giá trị 4000 hơn so với các đáp án còn lại. Do đó, ta chọn đáp án này.