Cho mặt phẳng chứa đa giác đều (H) có 20 cạnh. Xét tam giác có 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của (H ). Hỏi có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của (H).

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ tính tổng số cách lấy 4 viên bi bất kỳ, sau đó trừ đi số cách lấy 4 viên bi chỉ toàn màu trắng và số cách lấy 4 viên bi chỉ toàn màu xanh.

Tổng số cách lấy 4 viên bi từ 11 viên bi (6 trắng, 5 xanh) là tổ hợp chập 4 của 11, ký hiệu là C(11, 4):

C(11, 4) = 11! / (4! * 7!) = (11 * 10 * 9 * 8) / (4 * 3 * 2 * 1) = 330

Số cách lấy 4 viên bi trắng từ 6 viên bi trắng là tổ hợp chập 4 của 6, ký hiệu là C(6, 4):

C(6, 4) = 6! / (4! * 2!) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15

Số cách lấy 4 viên bi xanh từ 5 viên bi xanh là tổ hợp chập 4 của 5, ký hiệu là C(5, 4):

C(5, 4) = 5! / (4! * 1!) = 5

Vậy, số cách lấy 4 viên bi có đủ hai màu là:

330 (tổng số cách) - 15 (chỉ toàn trắng) - 5 (chỉ toàn xanh) = 310

Để giải bài toán này, ta cần xét các trường hợp có thể xảy ra khi chọn 3 học sinh sao cho có nhiều nhất 1 học sinh nam:

1. Trường hợp 1: Chọn 0 học sinh nam và 3 học sinh nữ.
   • Số cách chọn 0 học sinh nam từ 25 học sinh nam là C(25, 0) = 1.
   • Số cách chọn 3 học sinh nữ từ 15 học sinh nữ là C(15, 3) = 15! / (3! * 12!) = (15 * 14 * 13) / (3 * 2 * 1) = 455.
   • Vậy, số cách chọn trong trường hợp này là 1 * 455 = 455.
2. Trường hợp 2: Chọn 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ.
   • Số cách chọn 1 học sinh nam từ 25 học sinh nam là C(25, 1) = 25.
   • Số cách chọn 2 học sinh nữ từ 15 học sinh nữ là C(15, 2) = 15! / (2! * 13!) = (15 * 14) / (2 * 1) = 105.
   • Vậy, số cách chọn trong trường hợp này là 25 * 105 = 2625.

Tổng số cách chọn là tổng số cách của cả hai trường hợp: 455 + 2625 = 3080.

Vậy, có 3080 cách chọn 3 học sinh trong đó có nhiều nhất 1 học sinh nam.

Gọi A là biến cố "trong 4 lần thi, bạn Nam có đúng 2 lần ngồi cùng một vị trí".

Số cách xếp bạn Nam vào một vị trí trong 4 lần thi là: \(24^4\) cách.

Số cách để bạn Nam có đúng 2 lần ngồi cùng một vị trí là:

• Chọn 2 trong 4 lần để bạn Nam ngồi cùng một vị trí: \(C_4^2 = 6\) cách.
• Chọn vị trí mà bạn Nam ngồi trong 2 lần đó: 24 cách.
• Chọn 2 vị trí khác nhau cho 2 lần còn lại sao cho khác với vị trí đã chọn ở trên: \(23 \times 22\) cách.

Vậy, số cách để biến cố A xảy ra là: \(6 \times 24 \times 23 \times 22\) cách.

Xác suất của biến cố A là:

\(P(A) = \frac{{6 \times 24 \times 23 \times 22}}{{24^4}} = \frac{{6 \times 23 \times 22}}{{24^3}} = \frac{{3036}}{{13824}} = \frac{{253}}{{1152}}\)

Vậy đáp án đúng là \(\frac{{253}}{{1152}}\).

Để tính E(X), ta cần xác định phân phối xác suất của X. Từ bảng phân phối xác suất của (X, Y), ta có thể tính phân phối lề của X như sau:

• P(X=1) = P(X=1, Y=1) + P(X=1, Y=2) = 0.1 + 0.2 = 0.3


• P(X=2) = P(X=2, Y=1) + P(X=2, Y=2) = 0.2 + 0.1 = 0.3


• P(X=3) = P(X=3, Y=1) + P(X=3, Y=2) = 0.3 + 0.1 = 0.4

Vậy, E(X) = 1*P(X=1) + 2*P(X=2) + 3*P(X=3) = 1*0.3 + 2*0.3 + 3*0.4 = 0.3 + 0.6 + 1.2 = 2.1

Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng với 2.1. Có lẽ đã có một sai sót nhỏ trong đề bài hoặc các phương án trả lời. Dựa vào các lựa chọn đưa ra, đáp án gần đúng nhất là 2.2.

Để tìm khoảng tin cậy đối xứng cho tỷ lệ (p) người làm công việc văn phòng trong số những người bị đau cột sống với độ tin cậy 95%, ta sử dụng công thức sau:

\(p - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \le P \le p + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\)

Trong đó:

• \(p\) là ước lượng điểm của tỷ lệ, ở đây \(p = 52/100 = 0.52\)


• \(n\) là kích thước mẫu, ở đây \(n = 100\)


• \(z_{\alpha/2}\) là giá trị z tương ứng với mức độ tin cậy \(1 - \alpha\). Với độ tin cậy 95%, \(\alpha = 0.05\), và \(z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96\)

Thay các giá trị vào công thức, ta có:

\(0.52 - 1.96 \sqrt{\frac{0.52(1-0.52)}{100}} \le P \le 0.52 + 1.96 \sqrt{\frac{0.52(1-0.52)}{100}}\)

\(0.52 - 1.96 \sqrt{\frac{0.52 \cdot 0.48}{100}} \le P \le 0.52 + 1.96 \sqrt{\frac{0.52 \cdot 0.48}{100}}\)

Vậy, đáp án đúng là phương án 1.