100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 kèm đáp án chi tiết

Câu 1:

Tính \(\int {\sin \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{x}{2}} \right)} + C\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có công thức nguyên hàm: \(\int sin(ax+b) dx = -\frac{1}{a}cos(ax+b) + C\).

Áp dụng vào bài toán, ta có:

\(\int sin(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}) dx = \int sin(-\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{3}) dx = -\frac{1}{-\frac{1}{2}}cos(-\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{3}) + C = 2cos(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}) + C\).

Vậy, không có đáp án nào đúng trong các phương án đã cho.

Câu 2:

Tính tích phân xác định \(I = \int\limits_1^e {8x\ln xdx}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tính tích phân xác định \(I = \int\limits_1^e {8x\ln xdx}\), ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Đặt:

\(u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\)

\(dv = 8xdx \Rightarrow v = 4x^2\)

Khi đó, tích phân trở thành:

\(I = 4x^2\ln x\bigg|_1^e - \int\limits_1^e {4x^2.\frac{1}{x}dx} = 4x^2\ln x\bigg|_1^e - \int\limits_1^e {4xdx} \)

\(I = 4x^2\ln x\bigg|_1^e - 2x^2\bigg|_1^e\)

\(I = (4e^2\ln e - 4.1^2\ln 1) - (2e^2 - 2.1^2) = (4e^2 - 0) - (2e^2 - 2) = 4e^2 - 2e^2 + 2 = 2e^2 + 2\)

Vậy, \(I = 2e^2 + 2\).

Câu 3:

Tính tích phân xác định \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {4\cot xdx}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có:
\(I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 4\cot x dx = 4 \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos x}{\sin x} dx\)
Đặt \(t = \sin x\), suy ra \(dt = \cos x dx\). Đổi cận: \(x = \frac{\pi}{6} \Rightarrow t = \frac{1}{2}\); \(x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow t = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Khi đó:
\(I = 4 \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{t} dt = 4 \ln |t| |_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4 (\ln \frac{\sqrt{3}}{2} - \ln \frac{1}{2}) = 4 \ln \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 4 \ln \sqrt{3} = 4 \ln 3^{\frac{1}{2}} = 4.\frac{1}{2} \ln 3 = 2 \ln 3\)
Vậy, tích phân xác định bằng \(2\ln 3\).

Câu 4:

Tính \(\int\limits_3^4 {\frac{{dx}}{{4{x^2} - 16}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có:
\[\int\limits_3^4 {\frac{{dx}}{{4{x^2} - 16}}} = \frac{1}{4}\int\limits_3^4 {\frac{{dx}}{{{x^2} - 4}}} = \frac{1}{4}\int\limits_3^4 {\frac{{dx}}{{(x - 2)(x + 2)}}}\]
\[ = \frac{1}{4}\int\limits_3^4 {\frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx} = \frac{1}{{16}}\int\limits_3^4 {\left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx} \]
\[ = \frac{1}{{16}}\left( {\ln |x - 2| - \ln |x + 2|} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4\\3\end{array}} \right. = \frac{1}{{16}}\left( {\ln |4 - 2| - \ln |4 + 2| - \ln |3 - 2| + \ln |3 + 2|} \right)\]
\[ = \frac{1}{{16}}\left( {\ln 2 - \ln 6 - \ln 1 + \ln 5} \right) = \frac{1}{{16}}\left( {\ln 2 - \ln (3.2) + \ln 5} \right)\]
\[ = \frac{1}{{16}}\left( {\ln 2 - \ln 3 - \ln 2 + \ln 5} \right) = \frac{1}{{16}}\left( {\ln 5 - \ln 3} \right)\]

Câu 5:

Cho tích phân suy rộng \(\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\sin 2x}}{{1 + {x^2}}}} dx\). Phát biểu nào đúng

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Xét tích phân suy rộng \(\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\sin 2x}}{{1 + {x^2}}}} dx\).

Ta có \(\int_0^{ + \infty } {\left| {\frac{{\sin 2x}}{{1 + {x^2}}}} \right|dx} \le \int_0^{ + \infty } {\frac{1}{{1 + {x^2}}}dx} = \mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } arctan(b) - arctan(0) = \frac{\pi }{2}\).

Vì \(\int_0^{ + \infty } {\left| {\frac{{\sin 2x}}{{1 + {x^2}}}} \right|dx} \) hội tụ nên \(\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\sin 2x}}{{1 + {x^2}}}} dx\) hội tụ tuyệt đối. Vậy đáp án đúng là tích phân hội tụ tuyệt đối.

Câu 6:

Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{\sqrt[6]{{x + 1}}}}} dx\)

Lời giải: