Cho chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{5n!}}{{{n^n}}}}\). Chọn phát biểu đúng?

Chuỗi phân kỳ

Chuỗi hội tụ

Chuỗi đan dấu

Chuỗi có dấu bất kỳ

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Để xét sự hội tụ của chuỗi số \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{5n!}}{{{n^n}}}}\), ta có thể sử dụng tiêu chuẩn D'Alembert (tỉ số).\n\nĐặt \(a_n = \frac{{5n!}}{{{n^n}}}\).\n\nTa có: \(\frac{{a_{n+1}}}{{a_n}} = \frac{{5(n+1)!}}{{{(n+1)^{n+1}}}} \cdot \frac{{{n^n}}}{{5n!}} = \frac{{(n+1)!}}{{n!}} \cdot \frac{{{n^n}}}{{{(n+1)^{n+1}}}} = (n+1) \cdot \frac{{{n^n}}}{{{(n+1)^n}(n+1)}} = {\left( {\frac{n}{{n+1}}} \right)^n} = {\left( {\frac{{n+1}}{n}} \right)^{ - n}} = {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^{ - n}}\).\n\nKhi \(n \to \infty \), ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{a_{n+1}}}{{a_n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^{ - n}} = \frac{1}{e}\).\n\nVì \(\frac{1}{e} < 1\), theo tiêu chuẩn D'Alembert, chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{5n!}}{{{n^n}}}}\) hội tụ.\n

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 2

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 11:

Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - x - 2}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - x - 2}}\), ta có thể phân tích biểu thức như sau: \(\frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - x - 2}} = \frac{{(x - 2)(x + 2)}}{{(x - 2)(x + 1)}}\) Khi \(x \ne 2\), ta có thể rút gọn biểu thức: \(\frac{{(x - 2)(x + 2)}}{{(x - 2)(x + 1)}} = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\) Bây giờ, ta tính giới hạn khi \(x \to 2\): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x + 2}}{{x + 1}} = \frac{{2 + 2}}{{2 + 1}} = \frac{4}{3}\) Vậy, giới hạn của biểu thức là \(\frac{4}{3}\).

Câu 12:

Tìm a để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} x\cot (2x),\,\,x \ne 0,\left| x \right| < \frac{\pi }{2}\\ a,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \end{array} \right.\) liên tục trên \(( - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})R\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần có
\(\mathop {lim}\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)\)
Ta có:
\(\mathop {lim}\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {lim}\limits_{x \to 0} x.\cot 2x = \mathop {lim}\limits_{x \to 0} x.\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}} = \mathop {lim}\limits_{x \to 0} \frac{{x}}{{\sin 2x}}.\mathop {lim}\limits_{x \to 0} \cos 2x = \mathop {lim}\limits_{x \to 0} \frac{{2x}}{{2\sin 2x}}.\mathop {lim}\limits_{x \to 0} \cos 2x = \frac{1}{2}.1 = \frac{1}{2}\)
Mà f(0) = a. Vậy để hàm số liên tục thì a = 1/2.

Câu 13:

Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[5]{{32 + x}} - 2}}{x}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[5]{{32 + x}} - 2}}{x}\), ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital hoặc biến đổi đại số. Ở đây, ta sẽ sử dụng quy tắc L'Hôpital vì nó đơn giản hơn. Áp dụng quy tắc L'Hôpital, ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[5]{{32 + x}} - 2}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{d}{{dx}}(\sqrt[5]{{32 + x}} - 2)}}{{\frac{d}{{dx}}(x)}}\) Tính đạo hàm của tử và mẫu: \(\frac{d}{{dx}}(\sqrt[5]{{32 + x}} - 2) = \frac{1}{5}(32 + x)^{ - \frac{4}{5}}\) \(\frac{d}{{dx}}(x) = 1\) Vậy: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{5}(32 + x)^{ - \frac{4}{5}}}}{1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{5}(32 + x)^{ - \frac{4}{5}} = \frac{1}{5}(32)^{ - \frac{4}{5}} = \frac{1}{5}(2^5)^{ - \frac{4}{5}} = \frac{1}{5} \cdot 2^{ - 4} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{{16}} = \frac{1}{{80}}\) Vậy giới hạn là \(\frac{1}{{80}}\).

Câu 14:

Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{{n^2}}}{{n + 1}} - \frac{{{n^3}}}{{{n^2} + 1}}} \right)\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{{n^2}}}{{n + 1}} - \frac{{{n^3}}}{{{n^2} + 1}}} \right)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Quy đồng mẫu số: \(\frac{{{n^2}}}{{n + 1}} - \frac{{{n^3}}}{{{n^2} + 1}} = \frac{{{n^2}({n^2} + 1) - {n^3}(n + 1)}}{{(n + 1)({n^2} + 1)}} = \frac{{{n^4} + {n^2} - {n^4} - {n^3}}}{{{n^3} + {n^2} + n + 1}} = \frac{{{n^2} - {n^3}}}{{{n^3} + {n^2} + n + 1}}\) 2. Chia cả tử và mẫu cho \(n^3\) (bậc cao nhất của mẫu): \(\frac{{\frac{{{n^2}}}{{{n^3}}} - \frac{{{n^3}}}{{{n^3}}}}}{{\frac{{{n^3}}}{{{n^3}}} + \frac{{{n^2}}}{{{n^3}}} + \frac{n}{{{n^3}}} + \frac{1}{{{n^3}}}}} = \frac{{\frac{1}{n} - 1}}{{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}}}\) 3. Tính giới hạn khi \(n \to \infty \): \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{n} - 1}}{{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}}} = \frac{{0 - 1}}{{1 + 0 + 0 + 0}} = \frac{{ - 1}}{1} = - 1\) Vậy, giới hạn của biểu thức là -1.

Câu 15:

Cho hàm số \(y = 1 + {x^2}\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Xét hàm số \(y = 1 + x^2\). Ta có \(y' = 2x\). - \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) - \(y' > 0 \Leftrightarrow x > 0\): hàm số đồng biến trên \((0; +\infty)\) - \(y' < 0 \Leftrightarrow x < 0\): hàm số nghịch biến trên \((-\infty; 0)\) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu là y(0) = 1 + 0^2 = 1. Vậy điểm cực tiểu là (0, 1).

Câu 16:

Hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {e^{1/x}},\,\,x \ne 0\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \end{array} \right.\) có \({f'_ - }(0)\) là:

Lời giải: