Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{{n^2}}}{{n + 1}} - \frac{{{n^3}}}{{{n^2} + 1}}} \right)\)
Trả lời:
Đáp án đúng: B
Để tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{{n^2}}}{{n + 1}} - \frac{{{n^3}}}{{{n^2} + 1}}} \right)\), ta thực hiện các bước sau:
1. Quy đồng mẫu số:
\(\frac{{{n^2}}}{{n + 1}} - \frac{{{n^3}}}{{{n^2} + 1}} = \frac{{{n^2}({n^2} + 1) - {n^3}(n + 1)}}{{(n + 1)({n^2} + 1)}} = \frac{{{n^4} + {n^2} - {n^4} - {n^3}}}{{{n^3} + {n^2} + n + 1}} = \frac{{{n^2} - {n^3}}}{{{n^3} + {n^2} + n + 1}}\)
2. Chia cả tử và mẫu cho \(n^3\) (bậc cao nhất của mẫu):
\(\frac{{\frac{{{n^2}}}{{{n^3}}} - \frac{{{n^3}}}{{{n^3}}}}}{{\frac{{{n^3}}}{{{n^3}}} + \frac{{{n^2}}}{{{n^3}}} + \frac{n}{{{n^3}}} + \frac{1}{{{n^3}}}}} = \frac{{\frac{1}{n} - 1}}{{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}}}\)
3. Tính giới hạn khi \(n \to \infty \):
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{n} - 1}}{{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}}} = \frac{{0 - 1}}{{1 + 0 + 0 + 0}} = \frac{{ - 1}}{1} = - 1\)
Vậy, giới hạn của biểu thức là -1.
Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!
30 câu hỏi 60 phút
