Cho hàm số \(y = 1 + {x^2}\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

Hàm số đồng biến trên \((1, + \infty )\) và nghịch biến \((- \infty;1 )\)

Hàm số có điểm cực đại là (0,1)

Hàm số có điểm cực tiểu là (0,1)

Hàm số luôn đồng biến 1

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Xét hàm số \(y = 1 + x^2\). Ta có \(y' = 2x\). - \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) - \(y' > 0 \Leftrightarrow x > 0\): hàm số đồng biến trên \((0; +\infty)\) - \(y' < 0 \Leftrightarrow x < 0\): hàm số nghịch biến trên \((-\infty; 0)\) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu là y(0) = 1 + 0^2 = 1. Vậy điểm cực tiểu là (0, 1).

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 2

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 16:

Hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {e^{1/x}},\,\,x \ne 0\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \end{array} \right.\) có \({f'_ - }(0)\) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tính đạo hàm bên trái của hàm số tại x = 0, ta cần tìm giới hạn của biểu thức sau khi x tiến về 0 từ phía bên trái:

\({f'_ - }(0) = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{e^{\frac{1}{x}}} - 0}}{x} = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{e^{\frac{1}{x}}}}}{x}\)

Đặt \(t = \frac{1}{x}\). Khi \(x \to {0^ - }\) thì \(t \to - \infty \). Vậy ta có:

\(\mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{e^{\frac{1}{x}}}}}{x} = \mathop {lim}\limits_{t \to - \infty } t{e^t} = \mathop {lim}\limits_{t \to - \infty } \frac{t}{{{e^{ - t}}}} = 0\) (do \(\mathop {lim}\limits_{t \to - \infty } {e^{ - t}} = + \infty \) và bậc của \({e^{ - t}}\) lớn hơn bậc của \(t\)\)).

Vậy \({f'_ - }(0) = 0\).

Câu 17:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x\) trên [-3;0].

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x\) trên đoạn [-3;0], ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm của hàm số:
\(f'(x) = x^2 + 3x + 2\)

2. Tìm các điểm tới hạn bằng cách giải phương trình f'(x) = 0:
\(x^2 + 3x + 2 = 0\)
\((x + 1)(x + 2) = 0\)
Vậy, \(x = -1\) hoặc \(x = -2\).

3. Kiểm tra xem các điểm tới hạn có thuộc đoạn [-3;0] không:
Cả hai điểm \(x = -1\) và \(x = -2\) đều thuộc đoạn [-3;0].

4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và hai đầu mút của đoạn:
- \(f(-3) = \frac{{{{(-3)}^3}}}{3} + \frac{{3{{(-3)}^2}}}{2} + 2(-3) = -9 + \frac{{27}}{2} - 6 = \frac{{-18 + 27 - 12}}{2} = \frac{{-3}}{2} = -1.5\)
- \(f(-2) = \frac{{{{(-2)}^3}}}{3} + \frac{{3{{(-2)}^2}}}{2} + 2(-2) = \frac{{-8}}{3} + 6 - 4 = 2 - \frac{8}{3} = \frac{{6 - 8}}{3} = \frac{{-2}}{3} \approx -0.67\)
- \(f(-1) = \frac{{{{(-1)}^3}}}{3} + \frac{{3{{(-1)}^2}}}{2} + 2(-1) = \frac{{-1}}{3} + \frac{3}{2} - 2 = \frac{{-2 + 9 - 12}}{6} = \frac{{-5}}{6} \approx -0.83\)
- \(f(0) = \frac{{{0^3}}}{3} + \frac{{3{0^2}}}{2} + 2(0) = 0\)

5. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất:
Giá trị lớn nhất là 0, đạt được tại x = 0.

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-3;0] là 0.

Câu 18:

Nếu f(x) là hàm lẻ thì:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Hàm lẻ là hàm số thỏa mãn f(-x) = -f(x) với mọi x thuộc tập xác định. Khi tính tích phân của một hàm lẻ trên một khoảng đối xứng [-a, a], kết quả sẽ bằng 0. Điều này là do diện tích phần đồ thị nằm trên trục hoành sẽ triệt tiêu với diện tích phần đồ thị nằm dưới trục hoành. Do đó, phương án đúng là \(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = } 0\).

Câu 19:

Tích phân \(\int\limits_a^b {f(x)dx} \) bằng với tích phân

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Tích phân \(\int\limits_a^b {f(x)dx} \) có tính chất cộng tính trên khoảng lấy tích phân. Điều này có nghĩa là nếu ta có một điểm c nằm giữa a và b (tức là a \le c \le b), ta có thể chia tích phân từ a đến b thành tổng của hai tích phân: từ a đến c và từ c đến b. Công thức cụ thể là: \(\int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} \) với điều kiện a \le c \le b. Do đó, đáp án đúng là phương án 2.

Câu 20:

Cho dãy vô hạn các số thực \({u_1},{u_2},....{u_n},....\) . Phát biểu nào sau đây là đúng nhất.

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Câu hỏi yêu cầu xác định phát biểu đúng nhất về chuỗi số. Chuỗi số là tổng của một dãy số vô hạn.

Phương án 1: Sai. \({u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ...\) là một chuỗi số, không phải dãy số.
Phương án 2: Sai. \(\sum\limits_{i = 1}^n {{u_i}} \) là tổng riêng thứ n của chuỗi, chứ không phải là chuỗi số.
Phương án 3: Đúng. \({u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ...\) là biểu diễn của một chuỗi số.
Phương án 4: Sai. \(u_1^2,u_2^2,...u_n^2,...\) là một dãy số dương (nếu các số hạng đều dương), chứ không phải là một chuỗi số dương (chuỗi số dương phải là tổng của các số dương).

Vậy, đáp án đúng nhất là phương án 3.

Câu 21:

Tính tích phân \(\int\limits_0^{2008\pi } {\sin (2008x + \sin )dx} \)

Lời giải: