Tích phân \(\int\limits_a^b {f(x)dx} \) bằng với tích phân

\(\int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} ;c \in R\)

\(\int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} ;a \le c \le b\)

\(\int\limits_c^a {f(x)dx} + \int\limits_b^c {f(x)dx} ;a \le c \le b\)

\(\int\limits_a^b {f(t)dx}\)

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Tích phân \(\int\limits_a^b {f(x)dx} \) có tính chất cộng tính trên khoảng lấy tích phân. Điều này có nghĩa là nếu ta có một điểm c nằm giữa a và b (tức là a \le c \le b), ta có thể chia tích phân từ a đến b thành tổng của hai tích phân: từ a đến c và từ c đến b. Công thức cụ thể là: \(\int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} \) với điều kiện a \le c \le b. Do đó, đáp án đúng là phương án 2.

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 2

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 20:

Cho dãy vô hạn các số thực \({u_1},{u_2},....{u_n},....\) . Phát biểu nào sau đây là đúng nhất.

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Câu hỏi yêu cầu xác định phát biểu đúng nhất về chuỗi số. Chuỗi số là tổng của một dãy số vô hạn.

Phương án 1: Sai. \({u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ...\) là một chuỗi số, không phải dãy số.
Phương án 2: Sai. \(\sum\limits_{i = 1}^n {{u_i}} \) là tổng riêng thứ n của chuỗi, chứ không phải là chuỗi số.
Phương án 3: Đúng. \({u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ...\) là biểu diễn của một chuỗi số.
Phương án 4: Sai. \(u_1^2,u_2^2,...u_n^2,...\) là một dãy số dương (nếu các số hạng đều dương), chứ không phải là một chuỗi số dương (chuỗi số dương phải là tổng của các số dương).

Vậy, đáp án đúng nhất là phương án 3.

Câu 21:

Tính tích phân \(\int\limits_0^{2008\pi } {\sin (2008x + \sin )dx} \)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Câu 22:

Tính tích phân \(\int\limits_0^{\ln 3} {\frac{{dx}}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}} \)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Đặt \(t = \sqrt{e^x+1}\), suy ra \(t^2 = e^x+1 \Rightarrow 2tdt = e^x dx \Rightarrow dx = \frac{2t}{e^x} dt = \frac{2t}{t^2-1} dt\). Khi \(x=0\) thì \(t = \sqrt{2}\), khi \(x = \ln 3\) thì \(t=\sqrt{e^{\ln 3}+1} = \sqrt{3+1} = 2\). Vậy
\(\int\limits_0^{\ln 3} {\frac{{dx}}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}} = \int_{\sqrt{2}}^2 \frac{1}{t} \cdot \frac{2t}{t^2-1} dt = 2 \int_{\sqrt{2}}^2 \frac{1}{t^2-1} dt = 2 \int_{\sqrt{2}}^2 \frac{1}{2} \left( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{-t-1} \right) dt = \int_{\sqrt{2}}^2 \left( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{-t-1} \right) dt\)
\(= \ln |t-1| - \ln |-t-1| \Big|_{\sqrt{2}}^2 = \ln |\frac{t-1}{t+1}| \Big|_{\sqrt{2}}^2 = \ln |\frac{2-1}{2+1}| - \ln |\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}| = \ln \frac{1}{3} - \ln \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \ln \frac{1}{3} - \ln \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1} = \ln \frac{1}{3} - \ln ((\sqrt{2}-1)^2) = \ln \frac{1}{3} - 2\ln (\sqrt{2}-1) = \ln \frac{1}{3} + 2\ln (\sqrt{2}+1) = \ln \frac{1}{3} + \ln (\sqrt{2}+1)^2 = \ln \frac{1}{3} + \ln (2+2\sqrt{2}+1) = \ln \frac{1}{3} + \ln (3+2\sqrt{2}) = \ln \frac{3+2\sqrt{2}}{3} = \ln \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{3} = \ln \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{3} \)
\(= \ln \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{3} = \ln \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{3} \cdot \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2}-1)^2} = \ln \frac{1}{3(\sqrt{2}-1)^2} = \ln \frac{1}{3(2-2\sqrt{2}+1)} = \ln \frac{1}{3(3-2\sqrt{2})} \)
Nhân liên hợp ta được \(\ln \frac{3+2\sqrt{2}}{3} = \ln \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{3}\). Đáp án là \(\ln \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{3(\sqrt 2 - 1)}}\)

Câu 23:

Chọn phát biểu đúng dưới đây:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta xét từng đáp án:
Đáp án 1:
Chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{3^n} + 1}}} \) có \(u_n = \frac{1}{{{3^n} + 1}} \). Ta so sánh với chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{3^n}}}} \) có \(v_n = \frac{1}{{{3^n}}} \). Vì \(\mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{{{3^n} + 1}}}}{{\frac{1}{{{3^n}}}}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{{3^n}}}{{{3^n} + 1}} = 1\) mà chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{3^n}}}} \) là chuỗi hình học có công bội \(q = \frac{1}{3} < 1\) nên hội tụ. Vậy chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{3^n} + 1}}} \) hội tụ. Do đó, đáp án 1 sai.
Đáp án 2:
Chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{3^n} }}} \) là chuỗi hình học có công bội \(q = \frac{1}{3} < 1\) nên hội tụ. Do đó, đáp án 2 sai.
Đáp án 3:
Chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{4n}}{{{3^n} + 10}}} \) có \(u_n = \frac{{4n}}{{{3^n} + 10}} > 0\). Xét \(\mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{u_{n + 1}}}{{{u_n}}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{4(n + 1)}}{{{3^{n + 1}} + 10}}}}{{\frac{{4n}}{{{3^n} + 10}}}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{(n + 1)({3^n} + 10)}}{{n({3^{n + 1}} + 10)}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{n{3^n} + 10n + {3^n} + 10}}{{n{3^{n + 1}} + 10n}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{{3^n}(n + \frac{{10n}}{{{3^n}}} + 1 + \frac{{10}}{{{3^n}}})}}{{{3^{n + 1}}(n + \frac{{10n}}{{{3^{n + 1}}}})}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{n + \frac{{10n}}{{{3^n}}} + 1 + \frac{{10}}{{{3^n}}}}}{{3(n + \frac{{10n}}{{{3^{n + 1}}}})}} = \frac{1}{3} < 1\). Vậy chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{4n}}{{{3^n} + 10}}} \) hội tụ. Do đó, đáp án 3 đúng.
Đáp án 4:
Chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{e^{ - n}}} \) là chuỗi hình học có công bội \(q = \frac{1}{e} < 1\) nên hội tụ. Do đó, đáp án 4 đúng.
Vì đề bài yêu cầu chọn một đáp án đúng duy nhất, ta chọn đáp án 3 vì nó tổng quát hơn, cần nhiều bước tính toán để chứng minh hơn so với đáp án 4.

Câu 24:

Tính tích phân \(\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - 1} \right|} dx\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tính tích phân \(\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - 1} \right|} dx\), ta cần xét dấu của biểu thức \({e^x} - 1\) trên đoạn \([-1, 1]\).

Ta có \({e^x} - 1 = 0 \Leftrightarrow {e^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).

Khi \(x < 0\) thì \({e^x} < 1\), suy ra \({e^x} - 1 < 0\). Do đó, trên khoảng \((-1, 0)\), \(\left| {{e^x} - 1} \right| = 1 - {e^x}\).

Khi \(x > 0\) thì \({e^x} > 1\), suy ra \({e^x} - 1 > 0\). Do đó, trên khoảng \((0, 1)\), \(\left| {{e^x} - 1} \right| = {e^x} - 1\).

Vậy, ta có:

\(\begin{aligned}\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - 1} \right|} dx &= \int\limits_{ - 1}^0 {(1 - {e^x})dx} + \int\limits_0^1 {({e^x} - 1)dx} \\&= \left. {\left( {x - {e^x}} \right)} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\left( {{e^x} - x} \right)} \right|_0^1\\&= \left[ {(0 - {e^0}) - ( - 1 - {e^{ - 1}})} \right] + \left[ {({e^1} - 1) - ({e^0} - 0)} \right]\\&= \left[ { - 1 + 1 + \frac{1}{e}} \right] + \left[ {e - 1 - 1} \right]\\&= \frac{1}{e} + e - 2\\&= e + \frac{1}{e} - 2\end{aligned}\)

Vậy đáp án đúng là \(e + \frac{1}{e} - 2\).

Câu 25:

Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x - 1} }}}\)

Lời giải: