Tính tích phân \(\int\limits_0^{\sqrt 7 } {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt[3]{{1 + {x^2}}}}}} dx\)
Trả lời:
Đáp án đúng: D
Để tính tích phân \(\int\limits_0^{\sqrt 7 } {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt[3]{{1 + {x^2}}}}}} dx\), ta thực hiện các bước sau:
Đặt \(t = 1 + {x^2}\). Khi đó \(dt = 2xdx\), suy ra \(xdx = \frac{1}{2}dt\). Đồng thời, \({x^2} = t - 1\).
Đổi cận:
- Khi \(x = 0\), \(t = 1 + {0^2} = 1\).
- Khi \(x = \sqrt 7 \), \(t = 1 + {(\sqrt 7 )^2} = 1 + 7 = 8\).
Khi đó, tích phân trở thành:
\(\int\limits_0^{\sqrt 7 } {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt[3]{{1 + {x^2}}}}}} dx = \int\limits_1^8 {\frac{{{x^2}.x}}{{\sqrt[3]{{1 + {x^2}}}}}} dx = \int\limits_1^8 {\frac{{(t - 1)}}{{\sqrt[3]{t}}}.\frac{1}{2}dt = \frac{1}{2}\int\limits_1^8 {\frac{{t - 1}}{{\sqrt[3]{t}}}} dt = \frac{1}{2}\int\limits_1^8 {({t^{\frac{2}{3}}} - {t^{ - \frac{1}{3}}})} dt\)
\(= \frac{1}{2}\left[ {\frac{{{t^{\frac{5}{3}}}}}{{\frac{5}{3}}} - \frac{{{t^{\frac{2}{3}}}}}{{\frac{2}{3}}}} \right]_1^8 = \frac{1}{2}\left[ {\frac{3}{5}{t^{\frac{5}{3}}} - \frac{3}{2}{t^{\frac{2}{3}}}} \right]_1^8 = \frac{3}{2}\left[ {\frac{1}{5}{t^{\frac{5}{3}}} - \frac{1}{2}{t^{\frac{2}{3}}}} \right]_1^8\)
\(= \frac{3}{2}\left[ {(\frac{1}{5}{8^{\frac{5}{3}}} - \frac{1}{2}{8^{\frac{2}{3}}}) - (\frac{1}{5}{1^{\frac{5}{3}}} - \frac{1}{2}{1^{\frac{2}{3}}})} \right] = \frac{3}{2}\left[ {(\frac{1}{5}{{(2^3)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{1}{2}{{(2^3)}^{\frac{2}{3}}}) - (\frac{1}{5} - \frac{1}{2})} \right]\)
\(= \frac{3}{2}\left[ {(\frac{1}{5}{2^5} - \frac{1}{2}{2^2}) - (\frac{1}{5} - \frac{1}{2})} \right] = \frac{3}{2}\left[ {(\frac{{32}}{5} - \frac{4}{2}) - (\frac{1}{5} - \frac{1}{2})} \right] = \frac{3}{2}\left[ {(\frac{{32}}{5} - 2) - (\frac{2}{{10}} - \frac{5}{{10}})} \right]\)
\(= \frac{3}{2}\left[ {\frac{{22}}{5} - ( - \frac{3}{{10}})} \right] = \frac{3}{2}\left[ {\frac{{44}}{{10}} + \frac{3}{{10}}} \right] = \frac{3}{2}.\frac{{47}}{{10}} = \frac{{141}}{{20}}\)
Vậy, tích phân bằng \(\frac{{141}}{{20}}\).
Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!
30 câu hỏi 60 phút
