Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{\sqrt[6]{{x + 1}}}}} dx\)

hội tụ

phân kỳ

bán hội tụ

hội tụ tuyệt đối

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Ta xét sự hội tụ của tích phân suy rộng \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{\sqrt[6]{{x + 1}}}}} dx\). Ta có \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{\sqrt[6]{{x + 1}}}}} dx = \mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } \int\limits_2^b {\frac{1}{{\sqrt[6]{{x + 1}}}}} dx\). Tính tích phân \(\int\limits_2^b {\frac{1}{{\sqrt[6]{{x + 1}}}}} dx = \int\limits_2^b {{{(x + 1)}^{ - \frac{1}{6}}}} dx = \frac{6}{5}{(x + 1)^{\frac{5}{6}}}|\mathop {}\limits_2^b = \frac{6}{5}{[(b + 1)^{\frac{5}{6}} - {3^{\frac{5}{6}}}]}\) Do đó \(\mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } \int\limits_2^b {\frac{1}{{\sqrt[6]{{x + 1}}}}} dx = \mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } \frac{6}{5}{[(b + 1)^{\frac{5}{6}} - {3^{\frac{5}{6}}}]} = + \infty \). Vậy tích phân suy rộng đã cho phân kỳ.

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 2

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 7:

Tính \(\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\sqrt {1 + x} dx}}{{2 + 7x}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\sqrt {1 + x} dx}}{{2 + 7x}}}\), ta cần thực hiện các bước sau:

1. Đặt ẩn phụ: Đặt \(t = \sqrt{1 + x}\), suy ra \(x = t^2 - 1\) và \(dx = 2t dt\). Khi \(x = 0\) thì \(t = 1\), và khi \(x \to +\infty\) thì \(t \to +\infty\). Tích phân trở thành:
\(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{t \cdot 2t dt}}{{2 + 7(t^2 - 1)}}} = \int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{2t^2 dt}}{{7t^2 - 5}}}\)

2. Phân tích hàm số dưới dấu tích phân: Ta thấy rằng khi \(t \to +\infty\), \(\frac{{2t^2}}{{7t^2 - 5}} \to \frac{2}{7}\). Vì giới hạn này khác 0, tích phân suy rộng này phân kỳ (diverges).

3. Kết luận: Do tích phân phân kỳ và tiến đến vô cùng, đáp án đúng là \(+ \infty\).

Câu 8:

Tích phân suy rộng \(\int\limits_a^b {\frac{{dx}}{{{{(b - x)}^\alpha }}}} (b > a,\,\alpha > 0)\) phân kỳ khi:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Xét tích phân suy rộng \(\int\limits_a^b {\frac{{dx}}{{{{(b - x)}^\alpha }}}} \) với \(b > a,\,\alpha > 0\). Ta cần xác định khi nào tích phân này phân kỳ.

Đặt \(t = b - x\), suy ra \(dt = -dx\). Khi \(x = a\) thì \(t = b - a\), khi \(x = b\) thì \(t = 0\). Vậy tích phân trở thành:

\(\int\limits_a^b {\frac{{dx}}{{{{(b - x)}^\alpha }}}} = - \int\limits_{b - a}^0 {\frac{{dt}}{{{t^\alpha }}}} = \int\limits_0^{b - a} {\frac{{dt}}{{{t^\alpha }}}} \)

Tích phân \(\int\limits_0^{b - a} {\frac{{dt}}{{{t^\alpha }}}} \) hội tụ khi và chỉ khi \(\alpha < 1\) và phân kỳ khi \(\alpha \ge 1\).

Vậy, tích phân suy rộng \(\int\limits_a^b {\frac{{dx}}{{{{(b - x)}^\alpha }}}} \) phân kỳ khi \(\alpha \ge 1\).

Câu 9:

Cho chuỗi số \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{u_n}} \) và tổng riêng \(\sum\limits_{i = 1}^n {{u_n}}\). Chọn phát biểu đúng

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Câu 10:

Cho chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{5n!}}{{{n^n}}}}\). Chọn phát biểu đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để xét sự hội tụ của chuỗi số \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{5n!}}{{{n^n}}}}\), ta có thể sử dụng tiêu chuẩn D'Alembert (tỉ số).\n\nĐặt \(a_n = \frac{{5n!}}{{{n^n}}}\).\n\nTa có: \(\frac{{a_{n+1}}}{{a_n}} = \frac{{5(n+1)!}}{{{(n+1)^{n+1}}}} \cdot \frac{{{n^n}}}{{5n!}} = \frac{{(n+1)!}}{{n!}} \cdot \frac{{{n^n}}}{{{(n+1)^{n+1}}}} = (n+1) \cdot \frac{{{n^n}}}{{{(n+1)^n}(n+1)}} = {\left( {\frac{n}{{n+1}}} \right)^n} = {\left( {\frac{{n+1}}{n}} \right)^{ - n}} = {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^{ - n}}\).\n\nKhi \(n \to \infty \), ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{a_{n+1}}}{{a_n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^{ - n}} = \frac{1}{e}\).\n\nVì \(\frac{1}{e} < 1\), theo tiêu chuẩn D'Alembert, chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{5n!}}{{{n^n}}}}\) hội tụ.\n

Câu 11:

Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - x - 2}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - x - 2}}\), ta có thể phân tích biểu thức như sau:

\(\frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - x - 2}} = \frac{{(x - 2)(x + 2)}}{{(x - 2)(x + 1)}}\)

Khi \(x \ne 2\), ta có thể rút gọn biểu thức:

\(\frac{{(x - 2)(x + 2)}}{{(x - 2)(x + 1)}} = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\)

Bây giờ, ta tính giới hạn khi \(x \to 2\):

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x + 2}}{{x + 1}} = \frac{{2 + 2}}{{2 + 1}} = \frac{4}{3}\)

Vậy, giới hạn của biểu thức là \(\frac{4}{3}\).

Câu 12:

Tìm a để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} x\cot (2x),\,\,x \ne 0,\left| x \right| < \frac{\pi }{2}\\ a,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \end{array} \right.\) liên tục trên \(( - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})R\)

Lời giải: