Cho chuỗi số \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{u_n}} \) và tổng riêng \(\sum\limits_{i = 1}^n {{u_n}}\). Chọn phát biểu đúng

Phân tích câu hỏi:

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về sự hội tụ và phân kỳ của chuỗi số, đặc biệt là mối quan hệ giữa chuỗi số và dãy tổng riêng của nó.

Đánh giá các phương án:

• Phương án 1: Nếu dãy tổng riêng hội tụ thì chuỗi hội tụ. Đây là định nghĩa cơ bản về sự hội tụ của chuỗi số.
• Phương án 2: Nếu \({u_n} \to 0\) thì \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{u_n}}\) hội tụ. Đây là một mệnh đề sai. Điều kiện \({u_n} \to 0\) là điều kiện cần nhưng không đủ để chuỗi hội tụ. Ví dụ chuỗi điều hòa \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}} \) có \(\frac{1}{n} \to 0\) nhưng phân kỳ.
• Phương án 3: Nếu \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{u_n}}\) phân kỳ thì \({u_n} \to 0\). Đây là một mệnh đề sai. Nếu \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{u_n}}\) phân kỳ thì \({u_n} \) không hội tụ về 0 hoặc không tồn tại giới hạn.
• Phương án 4: Nếu \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{u_n}}\) hội tụ thì \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{u_n}} \right|} \) hội tụ. Đây là một mệnh đề sai. Chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{u_n}}\) hội tụ nhưng \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{u_n}} \right|} \) phân kỳ thì chuỗi đó gọi là bán hội tụ.

Vậy, phương án đúng là phương án 1.