Tính tích phân xác định \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {4\cot xdx}\)

2ln2

2ln3

-1

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Ta có:
\(I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 4\cot x dx = 4 \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos x}{\sin x} dx\)
Đặt \(t = \sin x\), suy ra \(dt = \cos x dx\). Đổi cận: \(x = \frac{\pi}{6} \Rightarrow t = \frac{1}{2}\); \(x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow t = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Khi đó:
\(I = 4 \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{t} dt = 4 \ln |t| |_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4 (\ln \frac{\sqrt{3}}{2} - \ln \frac{1}{2}) = 4 \ln \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 4 \ln \sqrt{3} = 4 \ln 3^{\frac{1}{2}} = 4.\frac{1}{2} \ln 3 = 2 \ln 3\)
Vậy, tích phân xác định bằng \(2\ln 3\).

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 2

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 4:

Tính \(\int\limits_3^4 {\frac{{dx}}{{4{x^2} - 16}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có:
\[\int\limits_3^4 {\frac{{dx}}{{4{x^2} - 16}}} = \frac{1}{4}\int\limits_3^4 {\frac{{dx}}{{{x^2} - 4}}} = \frac{1}{4}\int\limits_3^4 {\frac{{dx}}{{(x - 2)(x + 2)}}}\]
\[ = \frac{1}{4}\int\limits_3^4 {\frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx} = \frac{1}{{16}}\int\limits_3^4 {\left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx} \]
\[ = \frac{1}{{16}}\left( {\ln |x - 2| - \ln |x + 2|} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4\\3\end{array}} \right. = \frac{1}{{16}}\left( {\ln |4 - 2| - \ln |4 + 2| - \ln |3 - 2| + \ln |3 + 2|} \right)\]
\[ = \frac{1}{{16}}\left( {\ln 2 - \ln 6 - \ln 1 + \ln 5} \right) = \frac{1}{{16}}\left( {\ln 2 - \ln (3.2) + \ln 5} \right)\]
\[ = \frac{1}{{16}}\left( {\ln 2 - \ln 3 - \ln 2 + \ln 5} \right) = \frac{1}{{16}}\left( {\ln 5 - \ln 3} \right)\]

Câu 5:

Cho tích phân suy rộng \(\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\sin 2x}}{{1 + {x^2}}}} dx\). Phát biểu nào đúng

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Xét tích phân suy rộng \(\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\sin 2x}}{{1 + {x^2}}}} dx\).

Ta có \(\int_0^{ + \infty } {\left| {\frac{{\sin 2x}}{{1 + {x^2}}}} \right|dx} \le \int_0^{ + \infty } {\frac{1}{{1 + {x^2}}}dx} = \mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } arctan(b) - arctan(0) = \frac{\pi }{2}\).

Vì \(\int_0^{ + \infty } {\left| {\frac{{\sin 2x}}{{1 + {x^2}}}} \right|dx} \) hội tụ nên \(\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\sin 2x}}{{1 + {x^2}}}} dx\) hội tụ tuyệt đối. Vậy đáp án đúng là tích phân hội tụ tuyệt đối.

Câu 6:

Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{\sqrt[6]{{x + 1}}}}} dx\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta xét sự hội tụ của tích phân suy rộng \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{\sqrt[6]{{x + 1}}}}} dx\).

Ta có \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{\sqrt[6]{{x + 1}}}}} dx = \mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } \int\limits_2^b {\frac{1}{{\sqrt[6]{{x + 1}}}}} dx\).

Tính tích phân \(\int\limits_2^b {\frac{1}{{\sqrt[6]{{x + 1}}}}} dx = \int\limits_2^b {{{(x + 1)}^{ - \frac{1}{6}}}} dx = \frac{6}{5}{(x + 1)^{\frac{5}{6}}}|\mathop {}\limits_2^b = \frac{6}{5}{[(b + 1)^{\frac{5}{6}} - {3^{\frac{5}{6}}}]}\)

Do đó \(\mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } \int\limits_2^b {\frac{1}{{\sqrt[6]{{x + 1}}}}} dx = \mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } \frac{6}{5}{[(b + 1)^{\frac{5}{6}} - {3^{\frac{5}{6}}}]} = + \infty \).

Vậy tích phân suy rộng đã cho phân kỳ.

Câu 7:

Tính \(\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\sqrt {1 + x} dx}}{{2 + 7x}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\sqrt {1 + x} dx}}{{2 + 7x}}}\), ta cần thực hiện các bước sau:

1. Đặt ẩn phụ: Đặt \(t = \sqrt{1 + x}\), suy ra \(x = t^2 - 1\) và \(dx = 2t dt\). Khi \(x = 0\) thì \(t = 1\), và khi \(x \to +\infty\) thì \(t \to +\infty\). Tích phân trở thành:
\(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{t \cdot 2t dt}}{{2 + 7(t^2 - 1)}}} = \int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{2t^2 dt}}{{7t^2 - 5}}}\)

2. Phân tích hàm số dưới dấu tích phân: Ta thấy rằng khi \(t \to +\infty\), \(\frac{{2t^2}}{{7t^2 - 5}} \to \frac{2}{7}\). Vì giới hạn này khác 0, tích phân suy rộng này phân kỳ (diverges).

3. Kết luận: Do tích phân phân kỳ và tiến đến vô cùng, đáp án đúng là \(+ \infty\).

Câu 8:

Tích phân suy rộng \(\int\limits_a^b {\frac{{dx}}{{{{(b - x)}^\alpha }}}} (b > a,\,\alpha > 0)\) phân kỳ khi:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Xét tích phân suy rộng \(\int\limits_a^b {\frac{{dx}}{{{{(b - x)}^\alpha }}}} \) với \(b > a,\,\alpha > 0\). Ta cần xác định khi nào tích phân này phân kỳ.

Đặt \(t = b - x\), suy ra \(dt = -dx\). Khi \(x = a\) thì \(t = b - a\), khi \(x = b\) thì \(t = 0\). Vậy tích phân trở thành:

\(\int\limits_a^b {\frac{{dx}}{{{{(b - x)}^\alpha }}}} = - \int\limits_{b - a}^0 {\frac{{dt}}{{{t^\alpha }}}} = \int\limits_0^{b - a} {\frac{{dt}}{{{t^\alpha }}}} \)

Tích phân \(\int\limits_0^{b - a} {\frac{{dt}}{{{t^\alpha }}}} \) hội tụ khi và chỉ khi \(\alpha < 1\) và phân kỳ khi \(\alpha \ge 1\).

Vậy, tích phân suy rộng \(\int\limits_a^b {\frac{{dx}}{{{{(b - x)}^\alpha }}}} \) phân kỳ khi \(\alpha \ge 1\).

Câu 9:

Cho chuỗi số \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{u_n}} \) và tổng riêng \(\sum\limits_{i = 1}^n {{u_n}}\). Chọn phát biểu đúng

Lời giải: