Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_0^1 {\frac{{(2 - \sqrt[3]{x} - {x^3})dx}}{{\sqrt[5]{{{x^3}}}}}} \)

Đáp án khác

\(\frac{{625}}{{187}}\)

\([\frac{{25}}{{187}}\)

\(+\infty\)

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Ta có:
\(\int\limits_0^1 {\frac{{(2 - \sqrt[3]{x} - {x^3})dx}}{{\sqrt[5]{{{x^3}}}}}} = \int\limits_0^1 {(2{x^{ - \frac{3}{5}}} - {x^{ - \frac{3}{5} + \frac{1}{3}}} - {x^{ - \frac{3}{5} + 3}})dx} = \int\limits_0^1 {(2{x^{ - \frac{3}{5}}} - {x^{ - \frac{4}{{15}}}} - {x^{\frac{{12}}{5}}})dx} \)
\(= \left. {\left( {2.\frac{{{x^{\frac{2}{5}}}}}{{\frac{2}{5}}} - \frac{{{x^{\frac{{11}}{{15}}}}}}{{\frac{{11}}{{15}}}} - \frac{{{x^{\frac{{17}}{5}}}}}{{\frac{{17}}{5}}}} \right)} \right|_0^1 = \left. {\left( {5{x^{\frac{2}{5}}} - \frac{{15}}{{11}}{x^{\frac{{11}}{{15}}}} - \frac{5}{{17}}{x^{\frac{{17}}{5}}}} \right)} \right|_0^1 = 5 - \frac{{15}}{{11}} - \frac{5}{{17}} = \frac{{5.11.17 - 15.17 - 5.11}}{{11.17}} = \frac{{935 - 255 - 55}}{{187}} = \frac{{625}}{{187}}

Vậy đáp án đúng là \(\frac{{625}}{{187}}\)

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 2

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 27:

Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{1}{{x({{\ln }^2}x + 1)}}} dx\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\).
Đổi cận:
\(x = 1 \Rightarrow t = \ln 1 = 0\)
\(x = +\infty \Rightarrow t = +\infty \)
Khi đó, tích phân trở thành:
\(\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{1}{{{t^2} + 1}}dt} = \left. {arctant} \right|_0^{ + \infty } = \mathop {lim} \limits_{t \to + \infty } arctant - arctan0 = \frac{\pi }{2} - 0 = \frac{\pi }{2}\)

Câu 28:

Tính tích phân \(\int\limits_0^{\sqrt 7 } {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt[3]{{1 + {x^2}}}}}} dx\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tính tích phân \(\int\limits_0^{\sqrt 7 } {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt[3]{{1 + {x^2}}}}}} dx\), ta thực hiện các bước sau:

Đặt \(t = 1 + {x^2}\). Khi đó \(dt = 2xdx\), suy ra \(xdx = \frac{1}{2}dt\). Đồng thời, \({x^2} = t - 1\).

Đổi cận:
- Khi \(x = 0\), \(t = 1 + {0^2} = 1\).
- Khi \(x = \sqrt 7 \), \(t = 1 + {(\sqrt 7 )^2} = 1 + 7 = 8\).

Khi đó, tích phân trở thành:
\(\int\limits_0^{\sqrt 7 } {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt[3]{{1 + {x^2}}}}}} dx = \int\limits_1^8 {\frac{{{x^2}.x}}{{\sqrt[3]{{1 + {x^2}}}}}} dx = \int\limits_1^8 {\frac{{(t - 1)}}{{\sqrt[3]{t}}}.\frac{1}{2}dt = \frac{1}{2}\int\limits_1^8 {\frac{{t - 1}}{{\sqrt[3]{t}}}} dt = \frac{1}{2}\int\limits_1^8 {({t^{\frac{2}{3}}} - {t^{ - \frac{1}{3}}})} dt\)

\(= \frac{1}{2}\left[ {\frac{{{t^{\frac{5}{3}}}}}{{\frac{5}{3}}} - \frac{{{t^{\frac{2}{3}}}}}{{\frac{2}{3}}}} \right]_1^8 = \frac{1}{2}\left[ {\frac{3}{5}{t^{\frac{5}{3}}} - \frac{3}{2}{t^{\frac{2}{3}}}} \right]_1^8 = \frac{3}{2}\left[ {\frac{1}{5}{t^{\frac{5}{3}}} - \frac{1}{2}{t^{\frac{2}{3}}}} \right]_1^8\)

\(= \frac{3}{2}\left[ {(\frac{1}{5}{8^{\frac{5}{3}}} - \frac{1}{2}{8^{\frac{2}{3}}}) - (\frac{1}{5}{1^{\frac{5}{3}}} - \frac{1}{2}{1^{\frac{2}{3}}})} \right] = \frac{3}{2}\left[ {(\frac{1}{5}{{(2^3)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{1}{2}{{(2^3)}^{\frac{2}{3}}}) - (\frac{1}{5} - \frac{1}{2})} \right]\)

\(= \frac{3}{2}\left[ {(\frac{1}{5}{2^5} - \frac{1}{2}{2^2}) - (\frac{1}{5} - \frac{1}{2})} \right] = \frac{3}{2}\left[ {(\frac{{32}}{5} - \frac{4}{2}) - (\frac{1}{5} - \frac{1}{2})} \right] = \frac{3}{2}\left[ {(\frac{{32}}{5} - 2) - (\frac{2}{{10}} - \frac{5}{{10}})} \right]\)

\(= \frac{3}{2}\left[ {\frac{{22}}{5} - ( - \frac{3}{{10}})} \right] = \frac{3}{2}\left[ {\frac{{44}}{{10}} + \frac{3}{{10}}} \right] = \frac{3}{2}.\frac{{47}}{{10}} = \frac{{141}}{{20}}\)

Vậy, tích phân bằng \(\frac{{141}}{{20}}\).

Câu 29:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: \(y = {2^x},y = 2,x = 0\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong \(y = {2^x},y = 2,x = 0\) được tính bằng tích phân xác định.

Ta có \(2^x = 2 \Leftrightarrow x = 1\). Do đó, cận tích phân là từ 0 đến 1.
Diện tích \(S = \int_0^1 |2 - 2^x| dx = \int_0^1 (2 - 2^x) dx = [2x - \frac{2^x}{\ln 2}]_0^1 = (2 - \frac{2}{\ln 2}) - (0 - \frac{1}{\ln 2}) = 2 - \frac{2}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 2} = 2 - \frac{1}{\ln 2}\)

Vậy diện tích hình phẳng là \(2 - \frac{1}{{\ln 2}}\).

Câu 30:

Mệnh đề nào dưới đây đúng:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Xét hàm số f(x) liên tục trên [a, b].

* Nếu f(x) >= 0 với mọi x thuộc [a, b] thì tích phân từ a đến b của f(x)dx >= 0. Nếu tồn tại x0 thuộc [a, b] sao cho f(x0) > 0 thì tích phân từ a đến b của f(x)dx > 0.

Vậy đáp án đúng là: (∀x ∈ [a,b])f(x) ≥ 0 & ∃x0 ∈ [a,b]f(x0) > 0 ⇒ ∫abf(x)dx > 0.

Câu 1:

Tính \(\int {\sin \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{x}{2}} \right)} + C\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có công thức tính nguyên hàm của hàm sin như sau:

\(\int {\sin (ax + b)dx = - \frac{1}{a}\cos (ax + b) + C} \)

Áp dụng công thức trên, ta có:∫ sin(a − bx) dx = −(1/b) cos(a − bx).

Tại đây b = 1/2 ⇒ kết quả = 1/2 cos(π/3 − x/2).

Câu 2:

Tính tích phân xác định \(I = \int\limits_1^e {8x\ln xdx}\)

Lời giải: